Polinomio y el espectro de un Operador .

Question

Necesito ayuda con la siguiente pregunta : Consideremos $X$ $\mathbb C $ espacio de Banach . Deje $T \in B(X)$ ie. $T$ es un continuo lineal mapa de$X$$X$. definir $$P(T)=\sum_{k=o}^{n}a_kT^k$$ with $T^0=id_X$ (identidad) .

El reclamo es que el espectro de $T : \sigma(T) \subset\{\lambda \in \mathbb C : P(\lambda)= 0\}$ Aquí $P$ es un polinomio tal que $P(T) =0$ .

Gracias.

Answer 1

Permítanme ampliar el ajuste. Deje $\text{Hol}(T)$ ser el conjunto de todas las funciones de holomorphic en un barrio de $\sigma(T)$. El Riesz funcional de cálculo ahora dice que el hecho de que si tengo los polinomios $p$, $p(T)$ es como se esperaba, por supuesto, para los polinomios de esto es trivial.

Además, tenemos el álgebra de Banach operadores acotados en $X$, y: Espectral de asignación teorema: Si $T$ es un elemento de un álgebra de Banach $\mathcal A$ $f$ es holomorphic en un barrio de $\sigma(T)$, luego $$\sigma(f(T)) = f(\sigma(T)).$$

Si por lo tanto, seleccionar un polinomio $p$ tal que $p(T) = 0$, obtenemos $p(\sigma(T)) = 0$.

Answer 2

Es suficiente para mostrar el contrapositivo, es decir, que si $P(\lambda) \neq 0$, $T - \lambda \operatorname{id}_X$ es invertible. Ahora, ya $P(\lambda) \neq 0$, $x-\lambda$ no dividir el polinomio $P(x)$, por lo que podemos escribir $P(x) = Q(x)(x-\lambda) + R$ para algunos polinomio $Q(x)$ y un valor distinto de cero resto $R \in \mathbb{C}$ - desde $x-\lambda$ es de grado uno, el resto debe ser estrictamente menor grado, y por lo tanto constante. Pero entonces, esto significa que $0 = P(T) = Q(T)(T-\lambda \operatorname{id}_X) + R\operatorname{id}_X$, de modo que desde $T-\lambda \operatorname{id}_X$ $Q(T)$ viaje, nos encontramos con que $T-\lambda \operatorname{id}_X$ es invertible con delimitada inverso $(T-\lambda \operatorname{id}_X)^{-1} = -\tfrac{1}{R}Q(T)$, según se requiera.