La distribución de los puntos de un rectángulo

Question

Deje $R$ ser una región rectangular con lados de $3$$4$. Es fácil demostrar que para cualquier $7$$R$, existe al menos $2$ de ellos, es decir,$\{A,B\}$,$d(A,B)\leq \sqrt{5}$. Sólo divide $R$ en seis pequeños rectángulos con lados de $2$$1$, por lo que al menos uno de esos rectángulo debe contener $2$ puntos de los siete. Por lo tanto el resultado de la siguiente manera.

Aquí está la pregunta:
¿Qué acerca de seis puntos?

Yo creo que la misma es verdadera. ¿Cómo puedo probar mi creencia?

---

ps: no quiero encontrar ese $6$ puntos. Me gustaría mostrar que para cualquier conjunto con $6$ puntos.

Answer 1

El problema y la solución están en Jiri Herman, Radan Kucera, Jaromir Simsa, Contar y Configuraciones: Problemas en la Combinatoria, la Aritmética y la Geometría, página 272. Deje que el rectángulo tiene rincones $(0,0),(0,3),(4,0),(4,3)$. Dibujar segmentos de línea de unirse a $(0,2)$$(1,1)$$(2,2)$$(3,1)$%, también se $(4,2)$ a $(1,1)$, $(1,0)$ a $(2,2)$, e $(2,3)$$(3,1)$. Este se divide el rectángulo en $(3,0)$ piezas, y no es difícil mostrar dos puntos en la misma pieza debe estar dentro de $5$.

---

Una imagen para ilustrar la solución.

Answer 2

_{Para un enfoque diferente, también comenzar por la observación de que cualquier área rectangular con lados de 2 y 1 puede contener más de un punto, si cualquiera de los dos puntos para que no se $\sqrt{5}$ aparte. Ahora se nota que el 2-por-1 rectángulos pueden ser colocados en forma horizontal (de color azul en la ilustración de abajo) o verticalmente (verde). Por lo que podemos...}

Dividir el 4-por-3 rectángulo en 12 tamaño de la unidad de plazas, de color como un tablero de ajedrez (en blanco y negro de tal manera que no hay plazas para compartir un borde del mismo color). Considere la posibilidad de un par de casillas vecinas: Si contienen (al menos) dos puntos, estos tienen una distancia $\leq \sqrt{5}$. Si contienen ningún momento, debe haber otro par de adyacentes cuadrados con dos puntos (principio del palomar, cinco de 2-por-1 rectángulos/plaza de los pares a la izquierda por seis puntos), cuya distancia es de, a continuación,$\leq \sqrt{5}$. Si cada negro/blanco par de plazas adyacentes contiene exactamente un punto, se deduce que los puntos debe ser todo negro o todo blanco, de plazas (hay exactamente 6 de cada uno).

Entonces, en cualquier caso no debe ser una "diagonal" de tres plazas con un punto cada uno (* o x en la ilustración). Ahora imagina el medio cuadrado dividido por la otra diagonal. Ahora para cada triángulo, cada punto en el o en ella es de no más de $\sqrt{5}$ desde cualquier punto en el respectivo más cerca, en diagonal "vecinos" de la plaza! (En otras palabras, w.r.t. para la ilustración, si el punto en el medio de la plaza está más cerca de la parte superior izquierda, está a menos de $\sqrt{5}$ desde el punto en la parte superior izquierda, de lo contrario es dentro de $\sqrt{5}$ distancia del punto en la parte inferior derecha de la plaza.)