Subgrupo del índice $2$ es Normal

Question

Por favor, disculpe el egoísmo de la siguiente pregunta:

Sea $G$ un grupo y $H \le G$ tal que $|G:H|=2$. Muestre que $H$ es normal.

Prueba:

Porque $|G:H|=2$, $G = H \cup aH$ para algún $a \in G \setminus H.

Sea $x\in G$. Entonces $x \in H$ o $x \in aH.

Supongamos que $x \in H$. Luego $xhx^{-1} \in H$ porque $H$ es un grupo.

Supongamos que $x \in aH. Entonces $ahH(ah)^{-1} = ahHh^{-1}a^{-1} = a(hHh^{-1})a^{-1$ ***1

***1: ¿Puedo decir ahora que $x \in H$, basándome en que $hHh^{-1} \in H$ y que $aa^{-1} = e?

Gracias por el tiempo que dedicaste a leer mis dudas.

Answer 1

Aquí hay un exceso usando la teoría de caracteres, solo por diversión.
Dado que $2=|G:H|=(1_H)^G(1)$ y $1_G$ es un componente irreducible de $(1_H)^G$, se sigue que $$(1_H)^G=1_G+\chi,$$ para algún carácter lineal $\chi$. Ahora, dado que $0\not=[(1_H)^G,\chi]=[1_H,\chi_H]$ y tanto $1_H,\chi_H\in\text{Irr}(H)$, se deduce que $1_H=\chi_H$ y por lo tanto $$H=\ker1_H=\ker\chi_H=\ker\chi\cap H.$$ Así, $$H\subseteq\ker\chi=\ker(1_H)^G=\bigcap_{g\in G}\ker(1_H)^g=\bigcap_{g\in G}H^g=\text{Core}_G(H),$$ de donde concluimos que $H=\text{Core}_G(H)$ y $H\unlhd G$.

Answer 2

También se puede intentar demostrar que $H$ es el núcleo del homomorfismo $\varphi:G\to \mathbb Z/2\mathbb Z$ que envía cada elemento de $H$ a $[0]$ y cada otro elemento de $G$ a $[1]$. ¡La parte difícil de esta prueba no es demostrar que $H$ es el núcleo, sino mostrar que $\varphi$ es un homomorfismo!

Answer 3

Otro enfoque:

Dado que $|G:H|=2$, entonces $G = H \cup aH$ para algún $a \in G \setminus H$.

Definimos un homomorfismo de grupos $\varphi: G\to S$ tal que ker$\varphi=H$, entonces, correspondiente a $H$ y $aH$ definidos anteriormente, $G$ tiene dos fibras bajo $\varphi$, y cualquier elemento de G que tenga la imagen $e$ bajo $\varphi$ está en ker$\varphi=H$.

Obviamente, para cualquier $g,h \in H$, se cumple que $ghg^{-1} \in H$. Para cualquier $h \in H$ y $g \notin H$, examinamos la imagen de $ghg^{-1} $ bajo $\varphi$ y encontramos que:

$$\varphi(ghg^{-1} )=\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g^{-1})=\varphi(g)e\varphi(g^{-1})=\varphi(g)\varphi(g^{-1})=e$$

Por lo tanto, $ghg^{-1} $ está en ker$\varphi=H$.

Answer 4

Aquí está mi prueba. Consiste en partes más pequeñas y pensé en compartirla.

Debido a $(G:H)=2$, tenemos una descomposición $G= H\dot\cup gH$ para algún $g\in G\backslash H$. Queremos demostrar que $gH=Hg$ para todo $g\in G$. Para $g\in H$ esto es obvio, por lo tanto asumimos $g\in G\backslash H$. Note que el mapa $f: gH\rightarrow Hg$ dado por $f(gh):=hg$ es biyectivo, por lo tanto $|gH|=|Hg|$. Si podemos demostrar que $Hg\subseteq gH$, hemos terminado. Sea $hg\in Hg$. Supongamos que $hg\notin gH$, es decir, $hg\in H$. Entonces existen $h_1,\dots,h_r \in H$, tal que $hg= h_1\cdot \cdots\cdot h_r$, pero entonces $g=h^{-1}h_1\cdot\cdots\cdot h_r\in H$, lo cual contradice la suposición $g\in G\backslash H$. Esto concluye la prueba.