Subgrupo del índice $2$ es Normal

Question

Por favor, disculpe el egoísmo de la siguiente pregunta:

Sea $G$ un grupo y $H \le G$ tal que $|G:H|=2$. Muestre que $H$ es normal.

Prueba:

Porque $|G:H|=2$, $G = H \cup aH$ para algún $a \in G \setminus H.

Sea $x\in G$. Entonces $x \in H$ o $x \in aH.

Supongamos que $x \in H$. Luego $xhx^{-1} \in H$ porque $H$ es un grupo.

Supongamos que $x \in aH. Entonces $ahH(ah)^{-1} = ahHh^{-1}a^{-1} = a(hHh^{-1})a^{-1$ ***1

***1: ¿Puedo decir ahora que $x \in H$, basándome en que $hHh^{-1} \in H$ y que $aa^{-1} = e?

Gracias por el tiempo que dedicaste a leer mis dudas.

Answer 1

Para responder a tu pregunta, "No." Es verdad que $ahH(ah)^{-1}=ahHh^{-1}a^{-1}=aHa^{-1}$ (ya que $h,h^{-1} \in H$ tenemos $hHh^{-1}=H$). Pero no es generalmente cierto que $aHa^{-1}=H$. De hecho, si haces este salto, ¡esencialmente estás asumiendo lo que estás intentando probar!

Trabajemos con un elemento en su lugar para ver mejor lo que se necesita hacer. Supongamos que $x\in aH$. Entonces existe algún $h\in H$ tal que $x=ah$. Ahora supongamos que $k \in H$ y consideremos $xkx^{-1}=ahkh^{-1}a^{-1}$ [Necesitamos mostrar que $xkx^{-1}\in H].

Nota que $ahkh^{-1} \in aH$ y por lo tanto $ahkh^{-1}\not\in H$. Además, $H \not= Ha$ ya que $a \not\in H$. Por lo tanto, $ahkh^{-1}$ no pertenece a $H$ y por lo tanto debe pertenecer al único otro cosete derecho: $Ha$. Así que existe algún $h' \in H$ tal que $ahkh^{-1}=h'a$. Entonces $xkx^{-1}=ahkh^{-1}a^{-1}=h'aa^{-1}=h' \in H$ y así $xHx^{-1} \subseteq H.

Y así llegamos a la demostración más enrevesada del teorema del índice 2 que he visto nunca. :)

Es mejor trabajar con la condición (usualmente usada como una definición de normalidad): "$H$ es normal en $G$ si y solo si sus cosetes izquierdo y derecho son iguales."

Primero, recordemos que los cosetes dividen al grupo. Entonces si solo hay dos cosetes (uno de los cuales es el subgrupo mismo), entonces el segundo coset debe ser lo que queda. Así que los cosetes de $H$ en $G$ son $H$ y $G-H = \{x\in G\;|\; x\not\in H\}$ (el complemento de $H$ en $G$).

Sea $x\in G. Caso 1: $x\in H$. Entonces $xH=H=Hx. Caso 2: $x\not\in H. Entonces $xH \not= H$ y así $xH=G-H$. De igual manera $Hx\not= H$ así que $Hx=G-H. Por lo tanto, $xH=G-H=Hx. Así los cosetes izquierdo y derecho coinciden, entonces $H$ es normal en $G.

La idea detrás del teorema es que el subgrupo en sí siempre es tanto un cosete izquierdo como derecho. Así que si solo hay dos cosetes, no hay suficiente espacio para que el cosete que no es del subgrupo no coincida. Ahora, si el índice es tres, pueden ocurrir más cosas. En este caso hay espacio para que los cosetes no coincidan y por lo tanto $H$ no necesariamente sería normal. Por ejemplo: $H = \{ (1),(12) \}$ es un subgrupo de índice 3 en $S_3$ (permutaciones de ${1,2,3}$). Pero $H$ no es normal.

Answer 2

Sea $H$ de índice $2$ en un grupo $G.$ Sea $g$ cualquier elemento de $G$. Si $g ∈ H,$ entonces $gH = H = Hg.$ Si $g$ no está en $H$, entonces, como hay exactamente dos coclases a izquierda de $H$ en $G$ y $g$ no está en $H,$ deben ser $H$ y $gH$. Como las coclases a izquierda son disjuntas, sabemos que $gH = G − H$. Pero las coclases a derecha también son disjuntas, por lo que $Hg = G − H$. Por lo tanto, $Hg = G − H = gH$. Así que $ gH = Hg$ para todo $g ∈ G$, por lo tanto $H$ es normal.

Answer 3

$G$ actúa por multiplicación desde la izquierda en $G/H$, dando un morfismo de grupo $f$ de $G$ a las permutaciones de este conjunto de dos elementos. El estabilizador en esta acción del coset $H$, en otras palabras, el subgrupo $\{\, g\in G\mid g\cdot H=H\,\}$, es igual a $H$ mismo (esto es cierto para cualquier subgrupo). Pero una permutación que fija uno de los dos cosets también fija el otro (no tiene otro lugar a donde ir), entonces este estabilizador $~H$ es también el núcleo de $~f$, y por lo tanto un subgrupo normal.

Answer 4

Si $[G:H]=2$, entonces necesariamente $Ha=aH$ para cada $a\in G\setminus H$.

Answer 5

Sea $G$ un grupo y $H$ su subgrupo de índice $2$. Dado que $H$ es de índice $2$, los únicos cosets a la derecha son $H$ y $Ha$, donde $a\in G$. Por lo tanto,

(1) $G=H\cup Ha$.

De manera similar,

(2) $G=H\cup aH$.

Por lo tanto, a partir de (1) y (2), $H\cup Ha=H\cup aH\implies Ha=aH$. Por lo tanto, $H$ es normal.