Solución aproximada de una ecuación diferencial

Question

Mi tarea: encontrar una solución aproximada como $$y = y_0(x) + y_1(x)\lambda + y_2(x)\lambda^2 + y_3(x)\lambda^3$$ de la ecuación diferencial $$y' = \sin x + \lambda e^y, y(0)=1-\lambda. \ \ \ \ (*)$$ Mi intento :

Dejemos que $$y(x,\lambda) = y_0(x) + y_1(x)\lambda + y_2(x)\lambda^2 + y_3(x)\lambda^3.$$ Entonces $$ y_0(x) = y(x,0)$$ $$y_1(x) =\frac{ \partial y(x,\lambda)}{\partial \lambda}_{\lambda = 0}$$ $$y_2(x) =\frac{1}{2}\frac{ \partial^2y(x,\lambda)}{\partial \lambda^2}_{\lambda = 0}$$ $$y_3(x) =\frac{1}{6}\frac{ \partial^3y(x,\lambda)}{\partial \lambda^3}_{\lambda = 0}$$

Y

$$ y_0'(x) = y'_x(x,0)$$ $$y_1'(x) =\frac{ \partial}{\partial \lambda}y'_x(x,\lambda)_{\lambda = 0}$$ $$y_2'(x) =\frac{1}{2}\frac{ \partial^2}{\partial \lambda^2}y'_x(x,\lambda)_{\lambda = 0}$$ $$y_3'(x) =\frac{1}{6}\frac{ \partial^3}{\partial \lambda^3}y'_x(x,\lambda)_{\lambda = 0}$$

Después de eso, usando (*), obtuve $$y_0'(x)= sin x$$ $$y_1'(x)=e^{(y_0)}$$ $$y_2'(x)=e^{(y_0)}y_1;$$ $$y_3'(x)=e^{(y_0)}(y_1^2+y_2)$$ Y me detuve aquí. No hay una solución en estas integrales. ¿Tal vez, hay otra solución de mi tarea? Gracias

Answer 1

No sé si prefieres la solución exacta en lugar de las aproximaciones. Por desgracia, la expresión analítica incluye una integral $\int e^{-\cos(x)}dx$ que no tiene una forma cerrada estándar:

Tenga en cuenta que $y(x)=-\cos(x)-\ln(f(x)+C)$

donde $f(x)$ es la función que se muestra arriba. Esto es consistente con la respuesta anterior de grdgfgr.

Para el cálculo numérico, no hay dificultad para calcular los valores exactos de la integral, entonces los valores numéricos exactos de la función completa $y(x)$ .

Si se desea una buena aproximación a la forma de la fórmula, es posible expresar $\int_0^x e^{-\cos(t)}dt$ sobre la forma de las series finitas.

Finalmente, la integral puede ser sustituida por la siguiente serie de Fourier : $$\int_0^{x} e^{-\cos(t)}dt=a_0x+\displaystyle\sum_{n=1} \frac{a_n}{n}\sin(nx)$$ $a_0=1.266066$

$a_1=-1.130318$

$a_2=0.271495$

$a_3=-0.0443368$

$a_4=0.00547424$

$a_5=-0.000542926$

Basta con que las desviaciones sean insignificantes.

Answer 2

Me temo que mi solución no le ayudará con sus deberes. Si yo fuera tú, le preguntaría al profesor/TA, ya que me parece una pregunta extraña. Pero sigo pensando que es un enfoque interesante y es bueno saber que estos enfoques son posibles.

Intentemos encontrar una solución asintótica a esta ecuación para tener una comprensión de cómo se comporta. Supongamos que sinx es despreciable comparado con $y'$ y $e^y$ . En ese caso, la solución se convierte en $-log(-x+c)$ . Considere $x$ valores cercanos a $c$ . Hace que ambos $y$ y $e^y$ infinito, y sinx es despreciable comparado con el infinito.

Sólo por diversión, vamos a comparar esto con la solución numérica de la ecuación:

La solución general parece ser de la forma

$$-cos(x)-log(-x+d)+c$$

donde $d$ es la posición de la singularidad y $c$ debe determinarse mediante una condición inicial y(x<-10) (y(0)no se puede conectar con la solución real como se puede ver en el gráfico)

Evidentemente, va a ser muy difícil aproximar dicha solución utilizando cualquier función continua.

Volviendo a la forma en que podrías resolver tu pregunta tal y como estaba planteada: Si se trata de una tarea de aproximación, ¿por qué no se aproxima $\int e^{-cost}$ ¿usar la expansión taylor?

$\int e^{-cost} \sim 1.0128527022016056\int(\frac{\cos ^2(x)}{2}-\cos (x)+1)dx $

Desgraciadamente, se necesita una factorización multiplicativa para que la aproximación siga siendo válida para un intervalo grande.

Answer 3

La solución es más fácil de lo que puede parecer a primera vista.

Basta con expandir la solución de la ecuación diferencial en series de Taylor.

$$y＝y(0)+\frac{y'(0)}{1!}x+\frac{y''(0)}{2!}x^{2}+...$$

Los coeficientes $y'(0),y''(0)$ etc. podemos evaluar directamente a partir de la ecuación diferencial diferenciándola. Algunos de los primeros coeficientes:

$$y(0)=1-\lambda$$

$$y'(0)=\lambda e^{1-\lambda}$$

$$y''(0)=1+\lambda^{2} e^{2(1-\lambda)}$$

$$y'''(0)=\lambda e^{1-\lambda}\left [1+2\lambda^{2} e^{2(1-\lambda)}\right ]$$

Ahora, después de poner estos resultados en la serie de Taylor, todo lo que necesitas es reagrupar los términos de la serie para separar los términos que contienen sólo $\lambda,\lambda^{2},\lambda^{3}$ etc.