Si sé $AB$ ¿Cómo puedo calcular $BA$ ?

Question

Dejemos que $A\mathscr{M}_{3×2}(\mathbb{R})$ y $B\mathscr{M}_{2\times3}(\mathbb{R})$ sean matrices que satisfagan $AB =\begin{bmatrix} 8 &2 &2\\ 2 &5 &4\\ 2 &4& 5 \end{bmatrix}$ . Calcular $BA$ . (Golan, El álgebra lineal que debe conocer un estudiante de posgrado principiante (Ejercicio 426).

Tal vez se pueda resolver resolviendo un sistema de ecuaciones, pero creo que hay una forma más corta ya que este problema estaba en mi examen.

Gracias.

Answer 1

$(AB)^2=9(AB)\Rightarrow(BA)^3=9(BA)^2\Rightarrow \mu_{BA}(X)\mid X^2(X-9)$

$P_{AB}(X)=X(X-9)^2\Rightarrow P_{BA}(X)=(X-9)^2\Rightarrow\mu_{BA}(X)\mid (X-9)^2$

Conclusión: $\mu_{BA}(X)=X-9$ Así que $BA=9I_2$ .

(Aquí $\mu_X$ , respectivamente $P_X$ representa el polinomio mínimo, respectivamente el polinomio característico de una matriz cuadrada $X$ .)

Answer 2

Una pista: Consideraré el mismo problema suponiendo, en cambio, que \begin{align} A\text{ is }3 \times 2 && B \text{ is } 2 \times 3 && AB = $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$ . \Fin

• Desde $AB$ tiene rango $2$ y $A$ es $2 \times 3$ el rango de $A$ también debe ser $2$ . De hecho, el espacio de columnas de $A$ debe ser igual al espacio de la columna de $AB$ . Así que, $A$ tiene la forma $A=\begin{bmatrix} * & * \\ * & * \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ para un número indeterminado de $2 \times 2$ matriz invertible.
• Por razones similares, el espacio nulo de $B$ debe ser igual al de $AB$ . Así que, $B$ tiene la forma $B=\begin{bmatrix} * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ \end{bmatrix}$ para alguna matriz invertible indeterminada.
• A partir de la ecuación $AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ vemos que lo indeterminado $2 \times 2$ Las matrices son inversas entre sí. Dado esto, se comprueba que $BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

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Observación: Para el problema original sin modificar, observe que, como $AB$ es simétrica, es diagonalizable (incluso ortogonalmente). Además, su forma diagonal resulta ser $9$ veces la proyección sobre dos coordenadas. Sea $U$ sea un invertible $3 \times 3$ matriz con $$UABU^{-1} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}.$$ Aplicar el argumento anterior a $A_1 = UA$ y $B_2 = BU^{-1}$ para calcular $B_2A_2 = BA$ .