Dejemos que $A\mathscr{M}_{3×2}(\mathbb{R})$ y $B\mathscr{M}_{2\times3}(\mathbb{R})$ sean matrices que satisfagan $AB =\begin{bmatrix} 8 &2 &2\\ 2 &5 &4\\ 2 &4& 5 \end{bmatrix}$ . Calcular $BA$ . (Golan, El álgebra lineal que debe conocer un estudiante de posgrado principiante (Ejercicio 426).
Tal vez se pueda resolver resolviendo un sistema de ecuaciones, pero creo que hay una forma más corta ya que este problema estaba en mi examen.
Gracias.
$(AB)^2=9(AB)\Rightarrow(BA)^3=9(BA)^2\Rightarrow \mu_{BA}(X)\mid X^2(X-9)$
$P_{AB}(X)=X(X-9)^2\Rightarrow P_{BA}(X)=(X-9)^2\Rightarrow\mu_{BA}(X)\mid (X-9)^2$
Conclusión: $\mu_{BA}(X)=X-9$ Así que $BA=9I_2$ .
(Aquí $\mu_X$ , respectivamente $P_X$ representa el polinomio mínimo, respectivamente el polinomio característico de una matriz cuadrada $X$ .)
No estaría de más explicar la implicación $P_{AB}(X)=X(X-9)^2\Rightarrow P_{BA}(X)=(X-9)^2$ un poco. Pensé que tal vez estabas usando el hecho de que $AB$ y $BA$ tienen los mismos valores propios distintos de cero pero, a simple vista, no veo que eso sea suficiente.
Una pista: Consideraré el mismo problema suponiendo, en cambio, que \begin{align} A\text{ is }3 \times 2 && B \text{ is } 2 \times 3 && AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} . \Fin
Observación: Para el problema original sin modificar, observe que, como $AB$ es simétrica, es diagonalizable (incluso ortogonalmente). Además, su forma diagonal resulta ser $9$ veces la proyección sobre dos coordenadas. Sea $U$ sea un invertible $3 \times 3$ matriz con $$UABU^{-1} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}.$$ Aplicar el argumento anterior a $A_1 = UA$ y $B_2 = BU^{-1}$ para calcular $B_2A_2 = BA$ .
Una matriz como $A$ de rango dos no tiene necesariamente una fila cero, por lo que hay que realizar algunas transformaciones elementales para llegar a ella. Me pregunto ahora si estas transformaciones elementales no interfieren con las utilizadas para $B$ de forma equivocada, es decir, has multiplicado $PAQ$ por $RBS$ con $Q\ne R^{-1}$ .
He planteado objeciones sobre el argumento de tu post. Este comentario no tiene nada que ver con mi preocupación.
@user26857: OK he borrado mi último comentario, que no respondía a tu inquietud. No creía que fuera necesario realizar ninguna operación elemental de filas en $A$ . ¿Se opone a alguna de estas afirmaciones? (1) $col(A) = col(AB)$ para que $col(A) = \{ (x,y,0) : x,y \in \mathbb{R}\}$ . (2) Puesto que $col(A) = \{ (x,y,0) : x,y \in \mathbb{R}\}$ , $A$ tiene la forma $A=\begin{bmatrix} * & * \\ * & * \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ para un $2 \times 2$ matriz invertible.
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De nada. ¿Qué opinas, qué has probado, por qué crees que esto es soluble, percepciones...?
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Creo que puede resolverse mediante un sistema de ecuaciones, pero creo que hay un camino más corto.
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@José tendrás 12 variables y 9 restricciones para el sistema de ecuaciones
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Pregunta más fácil, algunas ideas para una respuesta general: math.stackexchange.com/q/731349/16192
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Tal vez el hecho de que la matriz es simétrica se puede utilizar para algo
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Podríamos encontrar algunos adecuado $A,B$ hallando la descomposición del vector propio
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Conviene recordar que $AB$ tiene el mismo rango que $BA$ y que $AB$ tiene los mismos valores propios distintos de cero que $BA$ .