El polinomio de la desigualdad de la prueba

Question

Demostrar $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)>1-a-b-c-d$ $ a,b,c,d$ son reales, y entre 0 y 1.

Puedo hacer esto con
$$(1-a)(1-b)>1-a-b \\ 1-a-b+ab>1-a-b \\ ab>0 $$

Pero con $c$$d$, esto se hace mucho más difícil. Alguien puede empujar a mí en la dirección correcta?

Answer 1

Reclamo: $(1−a)(1−b)(1−c)(1−d)>1−a−b−c−d $ y $ a,b,c,d$ son reales, que se extiende entre 0 y 1.

Usted tiene: $(1−a)(1−b)> 1−a−b+ab>1−a−b$ cualquier $a,b \in R$

$ab>0$

Así,

$(1−a)(1−b)(1−c)(1−d)=[1-(a+b-ab)][1-(c+d-cd)]$ $ >1-(a+b-ab)-(c+d-cd)$ ( $0<a(1-b) + b <1$ $0<c(1-d) + d <1$) $ > 1-a-b-c-d$

Answer 2

(1$-$) (1$-$b)(1$-$c)(1$-$d)>1-a-b-c-d[consideramos que esta verdadera]

• 1$-$(a+b+c+d)+(ab+bc+cd+...........ca)$-$(abc+bcd+cda+abd)+abcd>1-a-b-c-d
• ab+bc+cd+da+db+ac+abcd>abc+bcd+cda+dab[mostrar]
• que es el equivalente a ab(1$-$c)+bc(1$-$d)+cd(1$-$a)+da(1$-$b)+db+ac+abcd>0
• ahora ab>0 y c<1$\longrightarrow$1$-$c>0 de manera que ab(1$-$c)>0.del mismo modo podemos probar el resto.así, la desigualdad anterior es cierto