Si $A$ es un dominio de Dedekind y $I \subset A$ un no-cero ideal, entonces todos los ideales de a $A/I$ es la directora.

Question

En esta pregunta la voy a utilizar la siguiente definición de un dominio de Dedekind:

Un integrante del dominio $A$ es un Dominio de Dedekind si:

1) $A$ es un Noetherian Anillo.

2) $A$ es integralmente cerrado.

3) Todos los no-cero el primer ideal de $A$ es máxima.

También sé que todos los no-cero ideal $I \subset A$ se puede expresar de forma única como producto de potencias de primer ideales (una prueba de que no hace uso de los resultados de la localización primaria o descomposición se pueden encontrar en Pierre Samuel Teoría Algebraica de Números).

Con esta información, y sin haber sido enseñado en la localización (esto es para un estudiante de la clase de HORMIGA) es posible demostrar la siguiente declaración:

Si $A$ es un Dominio de Dedekind y $I \subset A$ un no-cero ideal, entonces todos los ideales de a $A/I$ es la directora.

--Debo señalar que me puede venir para arriba con una prueba cuando yo sé que en un dominio de Dedekind $A$ si $p \subset A$ es un no-cero prime (de ahí máxima) ideal, entonces la localización de la $A_p$ es un P. I. D. Pero, como no nos han enseñado localización en clase no se puede usar para resolver la cuestión. También miré de Atiyah - Macdonald, y que básicamente probar esto como Teorema 9.3, pero que utilice los resultados de la localización primaria y de la descomposición.

Answer 1

Sí. Factor $I = \displaystyle\prod_{i =1}^n \mathfrak{p}_i^{e^i}.$, Entonces por el Teorema del Resto Chino $A/I \cong \displaystyle\bigoplus_{i =1}^n A/\mathfrak{p}_i^{e^i}.$ , por Lo que es suficiente para mostrar cada factor de $A/\mathfrak{p}_i^{e^i}$ es la directora. Los ideales de $A/\mathfrak{p}_i^{e^i}$ son exactamente las imágenes de los ideales de la $A$ contiene $\mathfrak{p}_i^{e^i},$ es decir, $\mathfrak{p}_i^{n}$ $1\le n \leq e_i,$ bajo la proyección del mapa de $\pi:A \rightarrow A/\mathfrak{p}_i^{e^i}.$ Si $\pi(\mathfrak{p}_i) = \pi(\mathfrak{p}_i^2)$ $\pi( \mathfrak{p}_i) = 0$ $A/\mathfrak{p}_i^{e_i}$ es un campo. De lo contrario, deje $\alpha \in\pi( \mathfrak{p}_i) \setminus \pi(\mathfrak{p}_i^2).$ $(\alpha)$ es un buen ideal tal que $(\alpha) \not\subset \pi(\mathfrak{p}_i^n) $ cualquier $n\ge 2.$ Es de la siguiente manera $(\alpha) = \pi(\mathfrak{p}_i).$ llegamos a la conclusión de $\pi(\mathfrak{p}_i^n) = (\alpha^n)$ y, por tanto, $A/\mathfrak{p}_i^{e_i}$ es la directora.

Answer 2

SUGERENCIA $\:$ Por el teorema de aproximación, Dedekind dominio de ideales $\rm\:J\!\ne\! 0\:$ están fuertemente dos generado, es decir, para cada una de las $\rm\:0\ne i\in J\:$ existe $\rm\:j\in J\:$ tal que $\rm\:J = (i,j)\:.\:$, por lo que cada ideal $\rm\: J\supset I\:$ puede ser presentada en la forma $\rm\:J = (i,j)\:$ $\rm\:0\ne i\in I,\ j\in J\:.\:$ por lo tanto $\rm\ J = (j)\pmod I\ $ es la directora.

NOTA $\ $ Esta propiedad caracteriza a los dominios de Dedekind, es decir, un dominio de $\rm\:D\:$ es Dedekind iff cada distinto de cero ideal de $\rm\:D\:$ está fuertemente dos generado.