La singularidad de $1/(1-z)$ $z=1$

Question

Mi libro de reclamaciones que $1/(1-z)$ tiene una singularidad esencial en a $z=1$ por la escritura de los de Laurent de la serie y mostrando que hay infinitly muchos términos. Por qué no es esto sólo un polo de orden 1? Podemos escribir esto como $-1/(z-1)$, entonces el numerador es un nonvanishing analítica de la función, y el denominador es de la forma $(z-1)$, así que parece que, por definición, este debe ser un polo, y no una singularidad esencial. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Si alguien tiene curiosidad: el libro es el Princeton Review para el GRE Math Sujeto de Prueba, 4ª edición, pág. 312-313

Su argumento es este. Considere la posibilidad de la región de $1 < |z| < \infty$ y escribir

$f(z) = \frac{1}{1-z} = \frac{1}{z(\frac{1}{z}-1)} = -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{z-\frac{1}{z}}$.

Entonces si $|z| > 1$,$|1/z| < 1$, por lo que podemos ampliar

$\frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}}= -\frac{1}{z} (1 + (\frac{1}{z} + \frac{1}{z}^2 + \cdots) = \frac{1}{z} - (\frac{1}{z})^2 - (\frac{1}{z})^3 - \cdots$

para $|z| > 1$. Dado que este tiene un número infinito de términos en el de la serie de Laurent, $z=1$ es una singularidad esencial.

Answer 1

No creo que le falta de nada.

$f(z)=\frac{1}{1-z}$ tiene un polo de orden uno en $z=1$. Como un extra reassurence, tal vez vistazo a la definición de un poste como es la Wikipedia. En nuestro caso $g(z)=-1$.

Agregado: Esto es para responder a la actualización de la pregunta:

Cuando hablamos de la serie de Laurent centrada en $a$, estamos hablando de algo de la forma $\sum_{k} c_k (z-a)^k$. La serie que escribí más arriba se centra en $0$, no $1$, por lo que no es el de Laurent de expansión en $z=1$. Sin embargo, hay otra pregunta que debemos responder: ¿por Qué no quiere esto decir que nuestra función tiene un esencial singular en $z=0$? Aquí el problema es que no existe un abierto barrio de $1$ en caso de que la serie no aplica. Precisamente, no converge para cualquier $|z|<1$.