Quiero ser un profesor de matemáticas de un día, pero me pregunto cómo hacer mis propios problemas para darles a mis alumnos. Creo que es una responsabilidad del profesor para crear originales y útiles los problemas de sus alumnos ya que hay un montón de soluciones en línea de libros clásicos.
¿Cómo lo hacen?
Para establecer la escena para mi respuesta: desde el año 2010 todos los años que he trabajado y enseñado en las clases de "muy-pronto-a-ser" de los estudiantes en lo que se denomina "Vorkurs Mathematik". Este es un curso de 4 semanas en el comienzo de su primer semestre en la universidad, por lo general, los estudiantes acaban de terminar la escuela ("Gimnasio" en Alemania, que creo que sería la escuela secundaria en los estados unidos?). En este curso hacemos un rápido repaso de todo lo que debería haber aprendido en la escuela y luego de dar algunas pistas de lo que la matemática es realmente acerca de (cálculo proposicional, básicos de la teoría de conjuntos básicos de álgebra lineal...) que normalmente no se enseña en la escuela. Además en estos últimos años he trabajado con estudiantes de diferentes campos (Matemáticas, Física, Ingeniería, Biología) que ya están estudiando en la universidad. Para mí hay tres cosas importantes (según el nivel de enseñanza del curso como @Martigan ha señalado):
Aunque hay un montón de problemas clásicos, incluyendo soluciones para ser encontrado en internet, es importante para cubrir estos (en detalle) en su propia clase. Por ejemplo:
Demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty} \frac 1n=0$.
Prueba: Dado $\varepsilon >0$ elija $N\geq \frac{1}{\varepsilon}$. Si $n>N$ entonces $$|\frac 1n-0|=|\frac 1n|=\frac 1n < \frac 1N<\varepsilon.$$
Esta es una perfectamente buena respuesta se podría encontrar en cualquier libro de texto y para ti y para mí este es "el camino" para hacerlo. Pero para un estudiante que acaba de empezar a lidiar con el problema como este, esta solución tiene un grave inconveniente ya que no se señala su tren de pensamiento. Sí, $N\geq \frac{1}{\varepsilon}$ es una perfectamente buena elección ya que es evidente que "funciona". Y a usted y a mí, debería ser obvio que uno podría haber elegido $N\geq \frac{1}{\varepsilon} +1$ en su lugar. Pero ¿cómo llegamos al punto de la elección de $N$? A un nuevo estudiante, este puede ser un infierno de un problema si estos fundamentos no son cubiertos, en una conferencia o en una cuestión de la que explícitamente se habla. Un buen planteamiento fue hecho por Christopher Wallace en este post.
Así que en mi opinión cada profesor debe cubrir estos problemas clásicos, al menos en un nivel de principiantes. Esto no significa que uno debe hacer una copia de las preguntas y soluciones a partir de un libro de texto, sino para aplicar su propio estilo a la solución, por ejemplo, resolver la pregunta de sí mismo de una manera que los puntos de salida de su tren de pensamiento.
Si sólo vas a usar estas preguntas clásicas, puede resultar aburrido. Por eso, además de los oficiales de las preguntas que tenía que cubrir en los seminarios, traté de subir con un divertido o interesante o sorprendente de la aplicación. Un ejemplo de la Vorkurs, por lo que apunta a que pronto-a-ser-estudiantes:
En las escuelas alemanas es común para cubrir la reconstrucción de un polinomio dado de puntos. En esas preguntas hay que usualmente es de $n+1$ darán puntos para reconstruir un polinomio de grado $n$ (a veces se hacen excepciones en las clases avanzadas que también se aplica a la familia de curvas). Basado en esto a menudo me doy la siguiente pregunta, que no es parte del programa oficial de la Vorkurs:
Dado un polinomio $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots a_1x+a_0$ $a_n\in \mathbb{N}, a_i\in\mathbb{N}_0$ por $i\in\{0,\dots, n-1\}$. Usted puede pedir (varias veces) por el valor de $x\in\mathbb{Z}$. Es posible reconstruir el polinomio? Si sí, ¿cuál es la cantidad mínima de valores que tienes que pedir?
Como el grado de este polinomio es desconocido, que no pueden utilizar su "manera normal" de pedir $n+1$ valores. Pero esta cuestión es solucionable, usando sólo lo que han aprendido en la escuela y en el Vorkurs hasta ahora (usted sólo necesita saber acerca de la representación de los números a una base diferente). Esto es lo que yo consideraría un interesante y sorprendente aplicación, ya que se toma en un conocido pregunta, pero usted tiene que pensar de una nueva manera de solucionarlo (y en mi opinión la respuesta es realmente sorprendentes).
Me parece muy importante estar siempre sorprendido y entusiasmado con su propio tema. Esto puede sonar trivial como que no quiere convertirse en un profesor, si no te gusta el tema, pero en la enseñanza es muy importante para transmitir su entusiasmo a sus alumnos. Como he señalado, los estudiantes tienen que lidiar con las preguntas clásicas. Así como su maestro, tendrá que lidiar con estas preguntas también. Y tal vez usted tiene que tratar con estos para el resto de su vida, como los fundamentos de las matemáticas son poco probable que cambie. Para algunos es muy duro para mantener su asombro por estas "preguntas triviales", que creo que lleva a la mala enseñanza. Así que siempre trato de mantener en mente la forma en que me sorprendió fue la primera vez que he resuelto este tipo de pregunta y de lo bien que se sentía al saber exactamente cómo llegué a la solución.
Por supuesto, esto no es necesario sostener si sus alumnos están más avanzados como deberían haber figurado esto sí mismos por entonces, y también varía si usted está enseñando a los matemáticos o los estudiantes que deben tomar una clase de matemáticas, pero no están realmente interesados en el tema (en mi propia experiencia de los estudiantes de biología, donde a menudo sólo se centró en cómo pasar el examen).
En resumen: tomar las preguntas clásicas y aplicar su propio estilo a ellos, con lo que al menos parte de su original (?) pregunta. Dan muy interesante. Y siempre entusiasta, incluso acerca de lo fácil.
En mi propia experiencia cuando estoy discutiendo una solución de un clásico o un libro de texto problema en la clase, la discusión a menudo conduce a la nueva rama de ideas, soluciones alternativas y nuevos problemas. Es increíble lo que las ideas y nuevos problemas con un grupo de estudiantes de tener un debate constructivo.
Interesante pregunta...
Depende de tu nivel.
En alto nivel matemático, es evidente que es difícil "inventar", original de los problemas, como todos los problemas que se pueden proponer son claramente los problemas que han sido casi fondamental problema que el de matemáticas de la comunidad tenido que enfrentar en el pasado (sin embargo fácil que pueda parecer ahora). En ese caso, a veces es mejor mantener con el "clásico" de los problemas en lugar de crear nuevas versiones de ellos.
En los niveles inferiores, sugiero tres cosas:
Inicio de la respuesta. Es la manera más fácil de dar a los problemas que van a ser fáciles de comprobar, que estaría a favor de razonamiento sobre cálculo, etc. De esa manera es posible crear "original" de los problemas, para que usted solo tiene que elegir "original" o "diferentes" resultados finales.
Inicio de la respuesta: si el resultado final es algo que resuena para el estudiante, que es solucionar algo en el "mundo real", o en las "matemáticas del mundo" (intermediario lema por ejemplo), usted tiene un problema que es "útil" en los ojos de su estudiante (no se de que cualquier matemáticas no será útil en el largo plazo).
Transformar los problemas existentes (el mejor método para crear variaciones de problemas para los que es útil conocer la técnica muy bien y para los que la repetición es muy útil). Generalmente no es original ni "útil" como primera vista
Yo no era un profesor de matemáticas para largo, y yo sólo hice algunos cursos de matemáticas para estudiantes que se preparan para los avanzados estudios de matemática, pero estos fueron mis métodos preferidos.
Primero de todo, no me parece que sea una problemática para asignar "clásico" de los ejercicios para los cuales las soluciones se pueden encontrar en línea. Hay un montón de este tipo de problemas que personalmente me gusta que creo que los estudiantes pueden obtener una gran cantidad de. Las personas que quieren a alguien para resolver un problema para ellos siempre puede preguntar aquí por ejemplo.
Dicho esto, generalmente se encuentra que cuando preparo mis clases, ideas para los ejercicios que vienen a mí, naturalmente. Normalmente yo el primero en preparar sin ningún tipo de referencias (o simplemente compruebe que el libro por el tema de si voy a seguir un texto) y pensar a través del material a partir de primeros principios, y durante este proceso yo me pregunto el tipo de preguntas que yo haría si yo fuera el aprendizaje de esta, por primera vez, tanto en términos de cuáles son los puntos principales de la teoría y lo bueno que es. Por supuesto, una simple fuente de problemas, es simplemente para preguntar a los estudiantes a trabajar varios ejemplos o partes de las pruebas no tengo tiempo/deseo hacer en la clase, pero generalmente un amplio número de problemas relacionados que se producen en este proceso de preparación.
Nota para algunos cursos (cálculo, álgebra lineal), es logísticamente más sencillo asignar la mayoría de los problemas de cálculo en el libro, como muchos textos tienen buenos ejercicios y que a menudo tienen que trabajar a pesar de ser un ejemplo de antemano para asegurarse de que se ilustra exactamente lo que quiere y no se convierta en una computacional pesadilla. Cuando quiero llegar con mis propios problemas computacionales en el mío propio, a menudo me voy a pensar lo que yo quiero que implican, y luego trabajar hacia atrás para obtener un ejemplo adecuado (por ejemplo, una matriz diagonalizable con buenos valores propios).
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