Teorema de Liouville

Question

El teorema de Liouville para funciones superarmónicas establece que

Cualquier función acotada $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ admitiendo una desigualdad $\Delta f\leq 0$ en $\mathbb R^n$ es una función constante.

Aquí $\Delta$ es un laplaciano. Me pregunto cuál es la extensión de este teorema a otra clase de operadores, es decir, cuáles son las condiciones necesarias y cuáles las suficientes para que este teorema se cumpla.

Me interesa especialmente si existe tal teorema para un laplaciano discreto.

Answer 1

Si está interesado en el caso del laplaciano discreto, consulte el artículo de Rigoli, Salvatori y Vignati titulado "Liouville properties on graphs" (DOI: 10.1112/S0025579300012031 ).

Entre los resultados comprobados está el siguiente:

Dejemos que $G$ sea un gráfico y que $q$ sea un punto arbitrario en $G$ . Dejemos que $u$ ser un $p$ -función subarmónica en $G$ para $p > 1$ . Supongamos que para todo $R$ suficientemente grande $$ \sup_{B_R(q)} u \lesssim \frac{(R\log R)^{(p-1)/p}}{|S_R(q)|^{1/p}} $$ y $$ |S_R(q)| \lesssim (R\log R)^{p-1} $$ donde $S_R(q) = B_R(q) \setminus B_{R-1}(q) $ es la "esfera del radio $R$ ", entonces $u$ es constante.

El requisito de la tasa de crecimiento del volumen de las bolas de radio $R$ es típico: no es sólo el caso de los gráficos. Los teoremas de Liouville para variedades riemannianas completas y no compactas suelen demostrarse bajo el supuesto de un límite inferior de la curvatura de Ricci, que puede utilizarse para demostrar límites de crecimiento de volumen en la variedad riemanniana (el ejemplo más sencillo es el Teorema de Bishop-Gromov ).

Answer 2

Pensé que el teorema de Liouville discreto para la red $\mathbb{Z}^2$ fue demostrado por Heilbronn (On discrete harmonic functions. - Proc. Camb. Philos. Soc. , 1949, 45, 194-206). Pero recientemente supe por Alexander Khrabrov que existe un artículo más antiguo de Capoulade con casi el mismo resultado (Sur quelques proprietes des fonctions harmoniques et des fonctions preharmoniques, - Mathematica (Cluj), 6 (1932), 146-151.)

Lamentablemente, el último artículo no está disponible para mí.