Una hermosa geometría del problema

Question

Deje $PP'$ $QQ'$ dos líneas paralelas tangentes a un círculo de centro $C$ y radio de $r$ en los puntos de $P$$Q$, respectivamente. $P'Q'$ cortes de círculo en $M$$N$. Deje $Y$ $X$ ser los puntos en los que el $Q'Q$ es cortado por $PN$$PM$, respectivamente. Dadas las longitudes $PP'= p$, $QQ'= q$ y $2r = d$, hallar las longitudes $QY = y$$QX = x$.

He estado luchando con este problema por un par de días, por lo que una sugerencia o una solución sería bienvenido.

Ahora, lo que hace que este problema sea hermoso es el hecho de que si dejas $p=-\dfrac{2a}b$$q =-\dfrac{c}{2b}$, entonces las longitudes $y$ $x$ serán las verdaderas raíces de la ecuación de $ax^2 + 2bx + c = 0$.

Answer 1

No había visto a @Takahiro del argumento, pero el mío sigue el mismo enfoque básico (simplificado ligeramente con la ayuda de algunos trig):

$$\begin{align} \triangle PP^\prime M\sim \triangle XQ^\prime M &\implies \frac{|\overline{XQ^\prime}|}{|\overline{PP^\prime}|} = \frac{d\sin^2\theta}{d\cos^2\theta} \quad \left( = \tan^2\theta \right)\\[4pt] &\implies \frac{q+x}{p} = \frac{x^2}{d^2} \end{align}$$ donde $d$ es el diámetro del círculo. Asimismo, tenemos (pero no show) $$\frac{q-y}{p} = \frac{y^2}{d^2}$$ Por lo tanto, $x$ $-y$ (nota ---Takahiro hizo--- el cambio de signo!) son las raíces de $$ z^2 p - d^2 z - d^2 q = 0 \tag{$\estrella de$}$$

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Por desgracia, las sustituciones $p = -\frac{2a}{b}$ $q = -\frac{c}{2b}$ transformar $(\star)$ en $$4 a z^2 + 2 b d^2 z - c d^2 = 0 \tag{$\estrellas\estrella de$}$$ que no es el "hermoso" relación prometido. Tal vez OP intención de $p = -\frac{2 a r^2}{b} = -\frac{ad^2}{2b}$$q = \frac{c}{2b}$. (No estoy seguro de ver qué tan "hermoso" acerca de los más ad hoc de las asignaciones, sin embargo.)

Answer 2

$MX=x*\dfrac x{\sqrt{d^2+x^2}}$ ,$MQ=\sqrt{x^2-\dfrac{x^4}{d^2+x^2}}=\dfrac{xd}{\sqrt{d^2+x^2}}$ $PM=\sqrt{d^2-MQ^2}=d\sqrt{1-\dfrac{x^2}{d^2+x^2}}=\dfrac{d^2}{\sqrt{d^2+x^2}}$

Desde $PMP'\sim MXQ'$

$p:q+x=PM:MX=d^2/\sqrt{d^2+x^2}:x^2/\sqrt{d^2+x^2}=d^2:x^2$

$⇔d^2(q+x)=px^2$

$⇔px^2-d^2x-d^2q=0$

$x=(d^2+d\sqrt{d^2+4pq})/2p $

Del mismo modo, desde la $PNP'\sim NQ'Y$

$p:q-y=PN:NY=d^2:y^2 $ $py^2+d^2y-d^2q=0 $

$y=(-d^2+d\sqrt{d^2+4pq})/2p$

Entonces $(X-x)(X-y)=X^2-\sqrt{d^2+4pq}/p*X+qd^2/p$.

pero $(X-x)(X+y)=X^2+\dfrac{d^2}pX-\dfrac{qd^2}p$. x e y son soluciones de esta ecuación.

Answer 3

SUGERENCIAS:

Directa ( BFI :) ) método de

Deje que el radio del círculo se $ r$

Transversal a través de círculo de centro

$$ \frac{y-r}{x-p} = \frac{2r}{p+q} $$

Círculo Central de la Ecuación

$$ x^2+y^2 =r^2$$

Los puntos de intersección $$ ( N,M)= (x_1,y_1), (x_2,y_2) $$

Formulario de la Izquierda de la inclinación de la línea de la Ecuación de L en el que poner $ \rightarrow y=0 $

Formulario de Derecho de la inclinación de la línea de la Ecuación de R en el que poner$ \rightarrow y=0 $

(A continuación, compruebe el problema de belleza, etc. en retrospectiva).