Demostrar que $\sin\dfrac{\pi}n·\sin\dfrac{2\pi}n···\sin\dfrac{(n-1)\pi}n=\dfrac{n}{2^{n-1}}$

Question

Cómo probar que

$$\sin\dfrac{\pi}n·\sin\dfrac{2\pi}n···\sin\dfrac{(n-1)\pi}n=\dfrac{n}{2^{n-1}}$$

el uso de las raíces de $(z+1)^n-1=0$?

Mi idea es resolver $(z+1)^n-1=0$ y el uso De Moivre del Teorema para encontrar el producto de las raíces para demostrar la igualdad.

Answer 1

Claramente $z=0$ es una raíz de $(z+1)^n-1$, por lo que necesitamos excluir a conseguir algo trivial para el producto. Dividir y tomar el límite, $$\lim_{z \to 0} \frac{(z+1)^n-1}{z} = n,$$ de modo que el producto de las restantes raíces es $(-1)^{n-1} n$. Ahora tenemos que encontrar expresiones para las raíces. Tenemos raíces $$z_k+1 = e^{2\pi ik/n}, \quad k \in \{1,2,\dotsc,n-1\}.$$ Por lo tanto, la reorganización y la aplicación de la fórmula para el seno, $$z_k = e^{2\pi i k/n} -1 = e^{\pi i k/n} (e^{\pi i k/n}-e^{-\pi ik/n}) = e^{\pi i k/n} 2i\sin{\left( \frac{\pi k}{n} \right)}.$$

Por lo tanto, tenemos $$\begin{align} (-1)^{n-1}n &= \prod_{k=1}^{n-1} z_k \\ &= \prod_{k=1}^{n-1} e^{\pi i( k/n+1/2)} 2\sin{\left( \frac{\pi k}{n} \right)} \\ &= 2^{n-1} \exp{\left( \pi i \left(\frac{n-1}{2}+\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} k \right) \right)} \prod_{k=1}^{n-1} \sin{\left( \frac{\pi k}{n} \right)}. \end{align}$$ El resultado ahora que sigue, ya $$\exp{\left( \pi i \left(\frac{n-1}{2}+\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} k\right) \right)} = \exp{\left( \pi i (n-1) \right)} = (-1)^{n-1}.$$

Answer 2

Dada la ecuación $$(z+1)^n = 1 \tag{1}$$ Sus raíces son, $$z = e^{2\pi i \frac{k}{n}} - 1, \;\; 0 \leq k < n$$ Ahora, $$\prod_{k = 1}^{n-1} (e^{2\pi i \frac{k}{n}} - 1)$$ es el producto de todas las raíces con la excepción de $z = 0$. Si se abre (1) y cancelar uno de ambos lados, usted puede tomar z comunes y el resto de polinomio tendrá las otras raíces. De Vieta de fórmulas, sabemos que, $$\prod_{k = 1}^{n-1} (e^{2\pi i \frac{k}{n}} - 1) = (-1)^{n-1}n$$ Lo anterior puede ser escrita como, $$\prod_{k = 1}^{n-1} e^{\pi i \frac{k}{n}}(e^{\pi i \frac{k}{n}} - e^{-\pi i \frac{k}{n}}) = (-1)^{n-1}n$$ $$\prod_{k = 1}^{n-1} e^{\pi i \frac{k}{n}}2i \sin \frac{\pi k}{n} = (-1)^{n-1}n$$ $$e^{\pi i \frac{n-1}{2}}2^{n-1}i^{n-1}\prod_{k = 1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n} = (-1)^{n-1}n$$ $$\prod_{k = 1}^{n-1}\sin \frac{\pi k}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$$