Definir la secuencia $r(k)= \sum_{n=2}^k 2^{\frac{1}{n}}$
Es $r(k)$ irracional para cada $ k\geq 2$ ?
¿Está utilizando implícitamente el postulado de Bertrand?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Roger Hoover
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Sí. Supongamos $k>4$ y que $p$ el mayor primo $\leq k$ . Entonces $2^{\frac{1}{p}}$ es un número algebraico de grado $p$ en $\mathbb{Q}$ y es el único término de la suma con tal propiedad. De ello se deduce que $r(k)$ es un número algebraico sobre $\mathbb{Q}$ con grado $pm\geq p$ y en particular $r(k)\not\in\mathbb{Q}$ .
¿Le importaría explicar por qué la suma tiene grado $pm\geq p$ ? Un razonamiento de este tipo parece aplicarse igualmente a $\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}+(-\sqrt{2}-\sqrt[3]{2})$ - hay precisamente un término de grado $3$ pero la suma no es de grado divisible por $3$ .
@HagenvonEitzen: sí lo soy. ¿Es un problema? Los primeros casos ( $k\leq 6$ ) puede comprobarse manualmente.
Starfall
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El mismo argumento demuestra que si $a_k,b_k\in\mathbb Q$ y $\sum a_k^{b_k}\in\mathbb Q$ con cada término irracional, entonces $\sum a_k^{b_k}=0$ . ¡Bien!
Si asume $ a_k > 0 $ para todos $ a_k $ y tomar las raíces reales, entonces sí, esto se sostiene. (Para ver por qué es necesario, consideremos que la suma de los conjugados de $ \zeta_3 $ es $ -1 $ )
Ups, en efecto. O más en general si $|a_k^{b_k}|\notin\mathbb Q$ con elecciones arbitrarias de las raíces.
Hagen von Eitzen
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171160
Sí.
El número $r(k)$ es un elemento del campo de división $F$ del polinomio irreducible $f(X)=X^{N}-2$ donde $N=\operatorname{lcm}(1,2,\ldots,k)$ ). En efecto, si $\alpha$ es la única raíz positiva de $f$ entonces tenemos $$ r(k)=\sum_{n=2}^k\alpha^{N/n}$$ Sea $p$ sea un primo con $\frac k2<p\le k$ (tal primo existe por el postulado de Bertrand), y sea $\beta=\alpha\cdot e^{2\pi i/p}$ . Entonces $p\mid N$ y así $f(\beta)=0$ . Por lo tanto, existe un automorfismo $\phi$ de $F$ que mapea $\alpha\mapsto \beta$ . Tenga en cuenta que $\beta^{N/n}=\alpha^{N/n}$ para la mayoría $n$ . De hecho, tenemos $\beta^{N/n}\ne\alpha^{N/n}$ sólo si $N/n$ no es múltiplo de $p$ . En $p^2\nmid N$ precisamente para el caso $n=p$ . De ello se deduce que $$\phi(r(k))=r(k)+\beta^{N/p}-\alpha^{N/p}\ne r(k)$$ y por lo tanto $r(k)\notin\Bbb Q$ .
