La combinatoria parece incomprensible, ¿es que me falta "madurez matemática" y qué debo hacer?

Question

Creo que esta pregunta suave puede estar marcada como "basada en la opinión" o "fuera de tema", pero realmente no sé dónde más obtener ayuda. Así que Por favor, lean mi pregunta antes de que se cierre, realmente necesito ayuda desesperadamente... ¡Gracias de antemano por todas las personas que prestan atención a esta pregunta!

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Antecedentes

Soy un estudiante de bachillerato que ha participado en olimpiadas matemáticas, donde hay montones de problemas de combinatoria difíciles. Ya conozco las técnicas básicas de recuento (coeficientes binomiales, principio de inclusión-exclusión, etc.), algunas nociones y teoremas de la teoría de grafos (árboles, números de Ramsey, etc.), pero no sé mucho más allá de las definiciones. En consecuencia, tengo previsto (auto)estudiar este tema de forma sistemática. (En realidad, estudio para divertirme, no para mejorar mi rendimiento en las olimpiadas).

Contexto

Hace unos días me topé con el libro Curso de combinatoria y empecé a trabajar en este libro con diligencia. No tardé en encontrar los problemas demasiado duro . Estoy justo a la mitad del capítulo 2, y hay tres problemas (de una docena más o menos) que no puedo resolver ni siquiera después de leer las pistas y pensar literalmente durante horas. No estoy seguro de si debo seguir leyendo este libro, pero me surge una pregunta más importante:

¿Por qué encuentro los problemas demasiado difíciles? ¿Es que me falta la llamada "madurez matemática" necesaria para un texto de licenciatura como ése, o que no estoy suficientemente dotado, o algo más?

No sé si tengo el más mínimo grado de madurez matemática, pero llevo al menos medio año leyendo textos de matemáticas. He trabajado los siete primeros capítulos del bebé Rudin (y he resuelto todos los ejercicios, que me parecerían "fáciles" en comparación con los problemas de ese libro de combinatoria), y estoy aprendiendo álgebra lineal de Hoffman & Kunze y álgebra abstracta de Herstein, y me divierto leyendo los tres volúmenes Análisis de Amann & Escher. También hay otros libros como el de Folland Análisis real o de Artin Álgebra que sólo he leído algunos capítulos. De todos los libros de matemáticas que he leído, los problemas de este libro son los más difíciles. Sin embargo, nadie ha mencionado que el libro tenga problemas difíciles. (¿Tal vez sea sólo yo?)

Por cierto, he publicado un problema que he pensado literalmente durante toda una tarde aquí .

Preguntas

En definitiva, mi pregunta se reduce a esto:

1. ¿Es normal que te cueste resolver los problemas de ese libro?
2. ¿Podría decirme por qué me resulta difícil? Seguramente le daré más detalles si es necesario. (Esta pregunta parece imposible de responder, así que no dude en ignorarla).
3. ¿Qué debo hacer si todavía quiero estudiar combinatoria? Por ejemplo, ¿qué libros se recomiendan para mi situación? Y, lo que es más importante, ¿cómo puedo mejorar mis habilidades para resolver problemas de combinatoria?

Por favor, dígame qué más debería añadir para obtener mejores respuestas. De nuevo, ¡gracias por leer esto!

Answer 1

Una pregunta suave debe recibir una respuesta suave. Esto se basa principalmente en la opinión y quiero que si esta pregunta se cierra, se obtenga al menos una opinión.

¿Es normal que te cueste resolver los problemas de ese libro?

La combinatoria siempre ha tenido fama de tener problemas difíciles e interesantes, por eso es tan utilizada como matemática de "concurso". Entiendo que estás acostumbrado a resolver problemas de combinatoria y que chocar con este "muro" debe ser duro, pero ten en cuenta lo siguiente:

• No estoy de acuerdo si alguien dice que ese libro está pensado para ser resuelto completamente (me refiero a sus ejercicios). Muchos de sus problemas (como en muchos otros libros) serán probablemente preguntas que se le ocurrieron al autor y nunca fueron respondidas, o problemas con una idea muy, muy, muy brillante que sólo se le ocurre a la persona que realmente inventó/descubrió el problema. No digo que los problemas que estás dejando sin resolver sean de este tipo, pero intentar resolverlos todos puede ser difícil! no se trata sólo de aprender los conceptos del capítulo, sino también de acostumbrarse a la notación, los conceptos, las prácticas, etc., de ahí que te recomiende dejar estos ejercicios por ahora (¡sin sentirte culpable por hacerlo!) y volver a ellos más tarde.
• Este libro tiene un nivel muy diferente al de las matemáticas "de concurso". Por supuesto, está pensado para un estudio más profundo de la combinatoria, que a menudo puede resultar pesada y abrumadora. Es estupendo que hayas estudiado muchos otros libros de matemáticas, pero por favor, toma la combinatoria con mucho cuidado, ya que difiere del análisis y de otras ramas en muchos aspectos. Por ejemplo, la creatividad y la buena memoria suelen ser más necesarias en la combinatoria que en el análisis o el álgebra (¡me siento culpable por decir esto último!), y muchas otras prácticas son muy diferentes, pero estoy seguro de que probablemente ya lo sabes. Sólo asegúrate de que entiendes que estás trabajando con algo nuevo en lugar de las mismas cosas en las que estabas trabajando antes.

¿Puede decirme por qué me resulta difícil? Seguramente le daré más detalles si es necesario. (Esta pregunta parece imposible de responder, así que no dude en ignorarla).

Escuchando sus antecedentes, IMHO es sólo una cuestión de practica (sí, más práctica) y tiempo . Las matemáticas pueden ser engañosas, un día estarás enamorado de ellas, sintiendo que puedes dominarlas, y el otro día te sentirás la persona más estúpida del mundo. Sólo sé modesto, y entiende que las Matemáticas siempre estarán un paso por delante de ti y que con un poco de esfuerzo llegarás a ese paso algún día (y luego volverá a adelantarse... sí, como el infinito hotel de Hilbert... esto son matemáticas al fin y al cabo)

¿Qué debo hacer si todavía quiero estudiar combinatoria?

¿Por qué lo tiras al suelo ya? Ya mencioné mi opinión: debes seguir estudiando, omitiendo (a estas alturas) lo que crees que te quita demasiado tiempo. Sé que es difícil, pero esta práctica te será útil en algún momento de tu vida (matemática), así que es una buena idea tomarla desde ahora. ¡Por favor, no dejes el tema, parece que te anima mucho y todavía puedes aprender mucho de él!

Los mejores deseos para sus estudios personales :)

Answer 2

En mi experiencia personal, encuentro que repasar lo básico en temas en los que estoy avanzado a menudo resuelve mis frustraciones y me permite continuar a niveles más altos. Además de las matemáticas discretas, me gusta aprender idiomas. En el instituto, era muy mecánico, no muy divertido, pero siempre era el primero de la clase, una buena recompensa. En la universidad, mis conocimientos básicos me ayudaron a adaptarme a la velocidad de aprendizaje de lecciones más avanzadas. No fue hasta que me convertí en ayudante de cátedra que el mundo de los idiomas se abrió de verdad. La alegría, la comprensión y la confianza son ahora la recompensa de mi esfuerzo.

Como estudiante de secundaria, es posible que aún no haya aplicado la combinatoria en el ámbito personal. Además, los fundamentos deben convertirse en algo rutinario. Tal vez nunca hayas tenido la oportunidad de explicar lo que entiendes a un estudiante de matemáticas con verdadero interés o necesidad de saber. Pruebe esto (tal vez su antiguo profesor de superdotados del instituto tenga algún estudiante prometedor al que pueda presentarle el triángulo de Pascal). De nuevo, cuando me convertí en TA, en la escuela de posgrado, estaba mostrando a los estudiantes cómo aplicar la combinatoria básica en un modelo económico. Y de nuevo, mi reto de presentar lo básico permitió que mis persecuciones aumentaran.

El camino de una persona para aumentar la alegría y la comprensión de un tema, por lo que vale...