Cómo encontrar el valor máximo de $a^2+b^2$ si $x^4+ax^3+3x^2+bx+1\ge0$

Question

Deje $f(x)=x^4+ax^3+3x^2+bx+1$ donde $a,b \in \mathbb{R}$. Si $f(x) \ge 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$, ¿cuál es el valor máximo posible de $a^2+b^2$?

No sé cómo proceder. Sugerencias o ayuda será apreciada.

Answer 1

$$f(x) = \frac{1}{4}\bigg[4x^4+4ax^3+12x^2+4bx+4\bigg]\geq 0$$

$$f(x)= \frac{1}{4}\bigg[(2x^2+ax)^2+(bx+2)^2+(12-a^2-b^2)x^2\bigg]\geq 0$$

Por lo $$12-(a^2+b^2)\geq 0.$$

Por lo $$a^2+b^2\leq 12$$

Answer 2

Siguiente mathlove de la estrategia, podemos hacer un poco mejor . . .

Si $f(x) = x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 1$, donde

\begin{align*} a&=0\\[8pt] b&=\sqrt{6+{\small{\frac{14}{9}}}\sqrt{21}} \end{align*}

a continuación, $f(x) \ge 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$, y

$$a^2 + b^2= 6+{\small{\frac{14}{9}}}\sqrt{21} \approx 13.12845108$$

No sé si este es el mejor posible, sin embargo, es la mejor posible para el caso de $a=0$.