Para entender la mecánica estadística y de muchos cuerpos en física, a menudo comienza con ejemplos que "desacoplar" en niza formas para producir una solución simple. En este caso, esta "escondido" de los detalles es un poco confuso si usted realmente piensa acerca de ello. Voy, pues, a dar un matemático tutorial y algo de intuición en la final:
Vamos a pasar por alto la mecánica cuántica! Considere la posibilidad de cualquier sistema de no-interacción, idéntica sub-sistemas. Puede ser descrito por una función Hamiltoniana:
$$H([p, q]) = \sum_j^N H_0(\vec{p}_j, \vec{q}_j)$$
donde $N$ es el número de subsistemas (en relación con el límite termodinámico), $\vec{p}_j, \vec{q}_j$ son las variables que describen el subsistema $j$ y he escrito $[p,q]$ simbólicamente para indicar que el Hamiltoniano, por supuesto, depende de todas las coordenadas y momentos! Tenga en cuenta que $H_0$ es la misma función para todas las partículas y que no hay ninguna "cruzada términos" dado que los subsistemas no interactúan.
La térmica de la función de partición (en el ensemble canónico) puede entonces escribirse como
$$ Z(T) = Tr e^{-H/{k_B T}} = \sum_{\text{all config.}} e^{-H[p,q]/{k_B T}} $$
Usted no ha visto esta expresión en la forma general de una traza, pero para ser concretos: la suma de las configuraciones por ejemplo, podría ser múltiples integrales sobre todas las $\vec{p}_i, \vec{q}_i$ para un gas ideal:
$$Z(T) \propto \dfrac{1}{\hbar^{3N}N!} \int \prod_j d\vec{p}_j d\vec{q}_j \exp\left(-H[p,q]/{k_B T}\right)$$
A continuación, hacemos un truco! Podemos reescribir la suma sobre todas las posibles configuraciones de un producto, utilizando la factorización de $H$:
$$ \dfrac{1}{\hbar^{3N}N!} \int \prod_j d\vec{p}_j d\vec{q}_j e^{-H[p,q]/{k_B T}} = \dfrac{1}{\hbar^{3N}N!} \prod_j^N \left[ \int d\vec{p}_j d\vec{q}_j \exp\left(-H_0(p_j, q_j)\right)\right]$$
Aquí he dividido la exponencial del total de Hamilton en un producto de exponenciales del subsistema de Hamilton:
$$\exp(-H/{k_B T}) = \prod_j \exp(-H_0(p_j, q_j)/{k_B T})$$
y barajan en torno a la orden en los múltiples integrales un poco. Pero entonces vemos que esto no es más que el producto de $N$ idénticos integrales!
$$Z(T) = Z_0(T)^N$$
donde el único subsistema de la función de partición es:
$$Z_0(T) = \hbar^{-3} \int dp_j dq_j \exp\left(-H_0(p_j, q_j)\right)$$
Comparar la forma de este a la función de partición para un único oscilador armónico que está escrito en su incluidos imagen!
Con sólo un paso más de cálculo, uno ve que la matriz de densidad de $\rho$, a partir de la cual todas las expectativas, se calculan los valores, también factorizes en un producto. Esto significa que cualquier promedios para un subsistema son estadísticamente independiente de los demás. Bien podríamos ignorar el resto de los subsistemas en la descripción, que es algo intuitivo ya que todo el sistema está a sólo $N$ copias del mismo subsistema!
Equilibrio termodinámico es el resultado de una competencia entre la energía mecánica, la presión y la pura combinatoria (cuál es el estado más común estadísticamente). A menudo esto se resume en la libre (Gibbs/Helmholtz) potencial. Puede ser escrita como (el uso de $Z = Z_0^N$):
$$F = - k_B T \log Z = - k_B T N \log Z_0$$
El equilibrio térmico significa que la energía libre es minimizada con respecto a las variaciones. A partir de la expresión anterior, es claro que es suficiente para minimizar $\log Z_0$. En este caso, la "combinatoria" de la entropía es independiente de $N$, por lo que el límite no cambia nada! Este es, por supuesto, muy poco natural: cualquier sistema físico tiene al menos algún tipo de comunicación entre sus componentes. Otras personas son probablemente mejor en explicar cuando es significativo para hablar de equilibrio térmico y cuando no lo es.
Así que ahí está, esta es la razón por la que a veces hablar acerca de la física estadística y conjuntos para un solo átomos de hidrógeno o de osciladores armónicos.
Fuentes:
