Es Lewis Carroll razonamiento correcto?

Question

Una bolsa contiene 2 contadores, como a la que nada se sabe, excepto que cada uno es blanco o negro. Determinar sus colores, sin tomar fuera de la bolsa.

Carroll solución: Uno es negro y el otro es blanco.

Lewis Carroll explicación:

Sabemos que, si un bolso contenía $3$ contadores, dos negros y uno blanco, la probabilidad de extraer una negra sería de $\frac{2}{3}$; y que cualquier otro estado de cosas no le dé esta oportunidad.
Ahora las posibilidades, que la bolsa contiene $(\alpha)\;BB$, $(\beta)\;BW$, $(\gamma)\;WW$, son, respectivamente, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$.
Añadir un contador de negro.
Entonces, la probabilidad de que contiene $(\alpha)\;BBB$, $(\beta)\;BBW$, $(\gamma)\;BWW$, son, como antes, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$.
Por lo tanto las posibilidades de que ahora el dibujo de una negra
$ $ a= \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ Por lo tanto la bolsa contiene $BBW$ (desde cualquier otro estado de cosas no den esa oportunidad).
Por lo tanto, antes de que el contador de negro se añadió, que contenía BW, es decir, un contador de negro y uno blanco.
P. E. F.

Se puede explicar de esta explicación?

Yo no entiendo completamente la explicación, para empezar. Parece que hay elementos de la inversa de razonamiento, todo lo que él dice es correcto, pero es, básicamente, suponiendo que lo que pretende demostrar. Él está suponiendo uno blanco, uno negro, a continuación, agregar una negra de los rendimientos de los $\frac{2}{3}$. A partir de ahí va de nuevo a estado de la premisa de la prueba.

¿Alguien puede analizar a fondo y determinar si esta solución contiene falacias/leve de la mano que puede engañar al lector?

Answer 1

Hay una razón por la que este es el último de Lewis Carroll Almohada Problemas. Es un matemático broma del autor de Alicia en el país de las Maravillas.

El error (y Lewis Carroll lo sabía) es la frase

Sabemos ... que cualquier otro estado de cosas no dar esta oportunidad

desde luego, él inmediatamente se da un ejemplo de otro caso que da la misma oportunidad. De hecho, cualquier posición en la que la probabilidad de que tres de los negros es igual a la probabilidad de que dos blancos y un negro que también le daría el mismo combinado oportunidad.

No hay necesidad de añadir la tercera contador de negro: simplemente confunde al lector, con el fin de distraer la atención de la lógica de error. Lewis Carroll podría igualmente haber escrito algo como:

Sabemos que, si un bolso contenía $2$ contadores, uno negro y uno blanco, la probabilidad de extraer una negra sería de $\frac12$; y que cualquier otro estado de cosas no le dé esta oportunidad.

Ahora las posibilidades, que la bolsa contiene (α) BB, (β) BW, (γ) WW, son, respectivamente, $\frac14$, $\frac12$, $\frac14$.

De ahí la posibilidad, de que está llegando el negro, $=\frac14 \cdot 1 +\frac12 \cdot \frac12 + \frac14 \cdot 0 = \frac12.$

Por lo tanto la bolsa contiene BW (desde cualquier otro estado de cosas no den esa oportunidad).

Si él había escrito eso, sería más obvio que esto era una lógica defectuosa con una afirmación seguida de un contraejemplo, seguido por el uso incorrecto de la afirmación.

Answer 2

Bueno, por supuesto, el razonamiento es erróneo, ya que ciertamente es posible tener una bolsa con dos fichas del mismo color en ella!

Los hechos que son correctos son:

La probabilidad de sacar un contador de negro desde un punto fijo de la bolsa con 3 contadores es de 2/3 iff la bolsa contiene dos contadores negros.

Mediante la adición de un contador de negro a una generados al azar 2-contador de bolsa, la probabilidad de sacar una negra de la resultante de la bolsa es de 2/3.

La conclusión de que esto significa que la resultante de la bolsa en el último caso, por tanto, contiene 2 contadores negros y 1 blanco contador es lo que es erróneo, porque la bolsa no es fija; la probabilidad se calcula a través de una variable número de posibilidades para la bolsa.

Answer 3

Básicamente argumenta (incorrectamente) que desde el

$P(Y|X=x) = 2/3 \Leftrightarrow x=x_1$

entonces

$P(Y) = 2/3 \Rightarrow X = x_1$

Aquí

$Y$ a = "el dibujo de un contador de negro"

$X$ = "las tres contadores en la bolsa"

$x$ = "algún estado en particular de los contadores"

$x_1$ = "negro dos contadores, uno blanco contador"

Answer 4

La probabilidad de sacar un contador de negro de una bolsa que contiene una blanca y dos negras, contadores $= 2/3$.

La probabilidad de sacar un contador de negro de una bolsa que contiene un contador que es conocido por ser negro, y dos contadores que tienen un 50/50 de probabilidades de ser blanco o negro $ a= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = 2/3$.

¿Significa esto que estas bolsas son necesariamente de la misma? Por supuesto que no. Usted acaba de pasar a tener la misma probabilidad de sacar un contador de negro de uno de ellos.

Answer 5

Lewis Carroll podría haber shortend su argumento a la siguiente.

Ya que no sabemos nada acerca de los contadores, excepto que son blanco o negro, la probabilidad de que, si nos iba a sacar un contador, que iba a ser de color negro, es de $\frac12$. Pero sabiendo que la probabilidad, podemos concluir (sin tomar nada) que la mitad de los contadores en la bolsa son de color negro. Puesto que hay dos contadores, uno negro y el otro blanco.

Pero si lo hubiese hecho, la falla en el argumento tendría han sido demasiado evidente. (Si usted todavía no puede ver esto, considere la posibilidad de que todo, hasta la última frase también funciona para una bolsa con un número impar de contadores, por ejemplo, sólo uno.) Un conjurador el truco consiste de una gran parte del suministro de distracción, pero detalles irrelevantes.