¿Se puede utilizar la fórmula cuadrática con coeficientes variables?

Question

¿Podríamos utilizar la fórmula cuadrática en una expresión como $z^2xy - zx^2y+y = 0$ para encontrar $z$ en términos de $x$ y $y$ ?

Answer 1

Sí. Una variable sólo representa un número que no conocemos, así que todo lo que se puede hacer con números también se puede hacer con variables. (En realidad, a veces una variable representa un número que sí conocemos, pero en cualquier caso, sigue siendo sólo un número).

Sin embargo, hay que tener cuidado con una cosa. La fórmula cuadrática sólo es válida cuando se tiene una auténtica ecuación cuadrática, lo que significa que el coeficiente de $z^2$ debe ser distinto de cero. Así que en este caso, sólo se puede utilizar la fórmula cuadrática para resolver $z$ en términos de $x$ y $y$ asumiendo que $xy\neq 0$ (o, en su defecto, que ambos $x\neq 0$ y $y\neq 0$ ).

Answer 2

¡Sí! De hecho, probablemente aprendido con coeficientes variables; por ejemplo, en la forma de resolver la ecuación

$$ a x^2 + bx + c = 0 $$

cuando se da la presunción de que $a \neq 0$ .

Answer 3

Escriba $$z^2xy - zx^2y + y = 0$$ como $$(xy)z^2 - (x^2y)z + (y) = 0$$

para que puedas ver $a = xy$ , $b=-x^2y$ y $c=y$ .

Entonces \begin{align} z &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ z &= \dfrac{x^2y \pm \sqrt{x^4y^2-4xy^2}}{2xy} \\ z &= \dfrac{x^2y \pm |y|\sqrt{x^4-4x}}{2xy} \\ z &= \dfrac{x^2 \pm \sqrt{x^4-4x}}{2x} \\ \end{align}

Observe que $y$ ha desaparecido. Esto se debe a que $(xy)z^2 - (x^2y)z + (y) = 0 \iff y(xz^2 - x^2z + 1) = 0$ .

Así que tenemos que notar que $y=0$ es una solución. Si $y\ne 0$ entonces obtenemos $z = \dfrac{x^2 \pm \sqrt{x^4-4x}}{2x}$ donde vamos a necesitar requerir que $x \ne 0$ y, si sólo queremos soluciones de valor real, $x^4-4x \ge 0$ .

Answer 4

Ilustremos la utilidad de esta técnica para "dividir" una ecuación implícita en un conjunto de ecuaciones cartesianas. Esto mostrará, al mismo tiempo, la importancia de la condición $\Delta>0.$

Consideremos la ecuación implícita de grado 2: $$x^2+xy+y^2=1.$$

Si queremos dibujar su curva (una sección cónica), podemos considerar su ecuación como una ecuación cuadrática con variable $y$ y el parámetro $x$ :

$$y^2 + xy + (x^2-1)=0$$

Su discriminante es : $\Delta=x^2-4 (x^2-1)=4-3x^2$

Ahí hay que discutir:

Con la condición de que $\Delta=4-3x^2 \geq 0$ es decir, $x \in I:=[-\dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}}]$ Tenemos dos soluciones:

$$\begin{cases}y_1:=f_1(x)=\frac12(-x-\sqrt{4-3x^2}) \ \ \text{(blue curve)}\\y_2:=f_2(x)=\frac12(-x+\sqrt{4-3x^2}) \ \ \text{(red curve)}\end{cases}$$

correspondientes a las ecuaciones cartesianas de las curvas inferior y superior que se pueden ver en la figura. La unión de estas curvas es una elipse cuya proyección sobre la $x$ el eje es el intervalo $I$ .

Answer 5

Sí, muy bien... Su superficie tiene ecuación

$$ y(z^2x-zx^2+1)=0 $$

en el que $y=0 $ se considera un factor que representa el $(x,\, z)$ avión. Déjalo fuera temporalmente mientras intentas encontrar $z$ en función de $x,y$ .

Ahora puede, por ejemplo, reconocer $$ (2x-y+1)( x+y-2)=0 $$ como dos líneas rectas en 2D o los correspondientes planos extruidos en 3D.

Del mismo modo, tenemos dos cilindros de perfiles dados extruidos prismáticamente.

Se encuentra en la cuadrática restante $ (z^2x-zx^2+1)=0 $ factorizaciones con dos factores es posible donde están las raíces:

$$ 2z = x\pm \sqrt{x^2-5/x} $$

donde tratamos $x$ como constantes mientras se maneja como una cuadrática.

Cada uno de los factores (constituyentes) representa un cilindro cúbico hiperbólico (verde, marrón) cuya superficie de producto también está representada en el gráfico. La página web $ (x,z)$ plano se omite en la visualización.