¿Cuándo tiene una sección de meromorphic un haz de línea?

Question

Que $X$ ser un esquema y un divisor de Cartier en $D$ $X$. $D$ Determina una línea paquete $\mathcal{O}(D)$ $X$. ¿Bajo que condiciones, es el verdadero de converse? Es decir, cuando un haz de línea viene de un divisor de Cartier. ¿Esto es equivalen a decir cuando un haz de línea tiene una sección de meromorphic?

Sé que cuando $X$ es una línea múltiple no proyectivas paquetes no tienen secciones en general.

Answer 1

El mapa que describa $Cacl(X)\to Pic(X)$ el envío de la equivalencia lineal de la clase $[D]$ de un divisor de Cartier $D$ a la línea de paquete de $\mathcal O(D)$ siempre es inyectiva.
Muy a menudo es surjective: es el caso si $X$ es integral o si $X$ es proyectivo sobre un campo.
Sin embargo Kleiman ha dado una complicada ejemplo de un no-proyectiva de 3 dimensiones irreductibles esquema en el que hay una línea de paquete no tener ningún no-cero racional de la sección y por lo tanto no viene de un divisor de Cartier.
El esquema de $X$ se obtiene a partir de Hironaka completa, integral, no en singular, no proyectiva variedad de dimensión 3 (que ya es una extraña bestia!!!) mediante la adición de nilpotents para el anillo local de sólo un punto.
Los detalles pueden ser encontrados en Hartshorne del Amplio Subvariedades de Variedades Algebraicas , Capítulo I, Ejemplo 1.3, página 9.

Aquí está una imagen (en azul) de Hironaka la extraña bestia . La descripción está en la página 185 de Shafarevich del libro.