¿Qué es un objeto proyectivo en $\rm Set$?

Question

Lo que la propiedad de un conjunto en $\sf{ZF}$ es equivalente a ser un proyectiva objeto en la categoría de $\rm Set$? Ya que todos los conjuntos proyectivos asumiendo $\sf AC$ mi conjetura es que es equivalente a orderablility, pero una transcripción directa de la definición parece diferente de la definición de bien orderability, así que no estoy seguro.

Si $X$ es un proyectiva objeto en $\rm Set$, esto significa que por cada surjection $e:P\to Q$ y cada función de $f:X\to Q$ hay una función de $h:X\to P$ tal que $e\circ h=f$.

Answer 1

Un conjunto $Q$ es proyectivo si el axioma de elección es cierto para las colecciones de $|Q|$ conjuntos. De hecho, si $e:P\to Q$ es un surjection, entonces las fibras de $e$ son una colección de $|Q|$ conjuntos no vacíos, y una función de elección para esta colección es la misma como un derecho inversa de a $e$. Por el contrario, si $S$ es una colección de $|Q|$ vacía y los conjuntos de $f:S\to Q$ es un bijection, entonces vamos a $P$ ser distinto de la unión de los elementos de $S$ y deje $e:P\to Q$ ser el mapa inducida por $f$. A continuación, $e$ es surjective, y un derecho inversa para $e$ da una función de elección para $S$.

Así, en particular, por ejemplo, finito de conjuntos son siempre proyectiva, y countably conjuntos infinitos son proyectivos iff los contables axioma de elección es cierto.