¿Cómo encontrar un polinomio de una raíz determinada?

Question

Me pidieron encontrar un polinomio con coeficientes enteros de una determinada raíz o solución.
Digamos por ejemplo que la raíz es: $\sqrt{5} + \sqrt{7}$.

1. ¿Cómo puedo encontrar un polinomio que tiene este número como raíz?
2. ¿Hay una manera específica de encontrar un polinomio con coeficientes enteros?

Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.

Answer 1

Uno a partir de la ecuación de $x=\sqrt5+\sqrt7$ y tratar de deshacerse de las raíces cuadradas de uno en uno. Por ejemplo, $x-\sqrt5=\sqrt7$, encuadre producciones $(x-\sqrt5)^2=7$, desarrollo de la Plaza rinde $x^2-2=2x\sqrt5$, y otra vez cuadratura produce $(x^2-2)^2=20x^2$, es decir, $x^4-24x^2+4=0$.

Answer 2

El más simple polinomio que ha $r$ como una raíz es sólo $x-r$. Pero, claro, eso no es de lo que se trata aquí.

Esta es una pregunta acerca de encontrar el polinomio mínimo de a$\alpha=\sqrt{5}+\sqrt{7}$$\mathbb{Q}$; tales polinomios existen para cualquier algebraica de números, por definición de expresiones algebraicas.

La Teoría de Galois proporciona todas las herramientas necesarias para resolver este problema. Básicamente:

1. En el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})$; este campo contiene el número de $\alpha=\sqrt{5}+\sqrt{7}$, por lo que podemos trabajar allí. Cada elemento de este campo puede escribirse de forma única como $$a + b\sqrt{5} + c\sqrt{7} + d\sqrt{35}$$ para algunos $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$.

2. El campo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})$ tiene cuatro automorfismos (funciones de $f\colon\mathbb{Q}(\sqrt{5}+\sqrt{7})\to\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})$ que son aditivos, $f(a+b)=f(a)+f(b)$, multiplicativo, $f(ab)=f(a)f(b)$, y invertible), y estos automorfismos revisión de los elementos de $\mathbb{Q}$ (es decir, $f(q)=q$ todos los $q\in\mathbb{Q}$).

   Estos automorphism son los siguientes: $$\begin{align*} \sigma_1\colon a+b\sqrt{5}+c\sqrt{7}+d\sqrt{35} &\longmapsto a+b\sqrt{5}+c\sqrt{7}+d\sqrt{35} &\qquad&\text{(the identity)};\\ \sigma_2\colon a+b\sqrt{5}+c\sqrt{7}+d\sqrt{35} &\longmapsto a-b\sqrt{5}+c\sqrt{7}-d\sqrt{35}\\ \sigma_3\colon a+b\sqrt{5}+c\sqrt{7}+d\sqrt{35} &\longmapsto a+b\sqrt{5}-c\sqrt{7}-d\sqrt{35}\\ \sigma_4\colon a+b\sqrt{5}+c\sqrt{7}+d\sqrt{35} &\longmapsto a-b\sqrt{5}-c\sqrt{7}+d\sqrt{35} &&\text{(equal to }\sigma_3\circ\sigma_2\text{)} \end{align*}$$ Los mapas son inducidos por la conjugación de los mapas de $\sqrt{5}\mapsto-\sqrt{5}$$\sqrt{7}\mapsto-\sqrt{7}$.

   Una característica importante es que un elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})$ se encuentra en $\mathbb{Q}$ si y sólo si es fijado por los cuatro mapas.

3. Supongamos $p(x)$ es un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$,$a\in\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})$. Si $$p(x) = a_nx^n + \cdots + a_0$$ entonces $$\sigma_i(p(a)) = \sigma_i(a_na^n+\cdots+a_0) = a_n\sigma_i(a)^n+\cdots+a_0 = p(\sigma_i(a)).$$ En particular, si $p(a)\in\mathbb{Q}$,$p(a)=\sigma_i(p(a)) = p(\sigma_i(a))$$i=1,2,3,4$.

4. Ahora supongamos que usted encuentre un polinomio $p(x)$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$ que ha $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ como una raíz. A continuación,$p(\sqrt{5}+\sqrt{7})=0$, así que por 3 anterior, también debe ser cierto que $p(\sigma_i(\sqrt{5}+\sqrt{7}))=0$$i=1,2,3,4$. Eso significa que $p(x)$ debe también tener $\sqrt{5}-\sqrt{7}$, $-\sqrt{5}+\sqrt{7}$, y $-\sqrt{5}-\sqrt{7}$ como raíces. Por única factorización, llegamos a la conclusión de que $p(x)$ debe ser divisible por $$\left(x - (\sqrt{5}+\sqrt{7})\right)\left(x - (-\sqrt{5}+\sqrt{7})\right)\left(x - (\sqrt{5}-\sqrt{7})\right)\left(x - (-\sqrt{5}-\sqrt{7})\right).$$ Es decir, cualquier polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$ que ha $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ como una raíz debe ser un múltiplo de este producto.

   Pero si se multiplica este producto, usted descubrirá que este polinomio ya ha coeficientes en $\mathbb{Q}$.

Una vez que usted tiene un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$ que ha $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ como root, puede obtener un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Z}$ basta con borrar denominadores.

Answer 3

1. $x-\sqrt 5 - \sqrt 7$ es un polinomio, por lo que deberá especificar el tipo de los coeficientes de que usted está buscando.

2. En el caso de las raíces cuadradas existe el bajo nivel de la técnica de "cuadrar las raíces de distancia".

   $$x=\sqrt 5 + \sqrt 7$$ $$x^2=5+7+2\sqrt {35}$$ $$(x^2-12)^2=140$$ $$x^4-24x^2+4=0$$

3. Si usted sabe que usted debe esperar que los conjugados a ser raíces, usted puede multiplicar cuatro factores lineales.

   $$(x-\sqrt 5 - \sqrt 7)(x-\sqrt 5 + \sqrt 7)(x+\sqrt 5 - \sqrt 7)(x+\sqrt 5 + \sqrt 7).$$

4. En general, existen métodos para la construcción de un polinomio por la suma de dos números cuyos polinomios son conocidos, por ejemplo, puede utilizar la resultante. http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant

Answer 4

Permítanme comentar que hay algoritmos para hacer esto, incluso cuando el número no está dada en términos de los radicales, pero sólo como un decimal de expansión (pero que se sospecha que se algebraicas). Es decir, se usa el algoritmo LLL para tratar de construir una integral combinación lineal de $1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\ldots$ es de cero hasta un error de redondeo. Si no la combinación lineal se encuentra a continuación, se puede concluir que el número es trascendental, o el mínimo polinomio debe tener enorme coeficientes o grado enorme.

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/LLL_algorithm#Applications