Acerca de la cohomología de gavillas en geometría algebraica

Question

En geometría algebraica, ¿por qué es mucho más interesante trabajar con resoluciones inyectivas? ¿Por qué es el functor principal de secciones globales de una gavilla? Estoy leyendo el libro de Hartshorne Algebraic Geometry, y parece que sólo trata las resoluciones inyectivas y el functor de secciones globales? ¿Por qué estamos motivados para trabajar con ellos?

Gracias.

Answer 1

En geometría algebraica, cuando consideramos la cohomología de gavillas, el principal functor que nos interesa es el functor sección global es decir, el functor que asocia a una gavilla su anillo de secciones globales. Nótese que se trata de un functor covariante. Ahora bien, este functor no es exacto, sólo es exacto a la izquierda. La maquinaria del álgebra homológica asigna entonces funtores derivados de la derecha a tu functor covariante exacto a la izquierda, para definir una secuencia exacta larga con la que puedas calcular realmente. Para ello, necesitas resoluciones inyectivas . Esto es lo que da los grupos de cohomología.

Observación: Si quieres alguna motivación para esto en el contexto de la geometría algebraica, te recomiendo encarecidamente el capítulo 7 del libro de Perrin Geometría algebraica - Introducción que está disponible a través de SpringerLink (aquí está la dirección enlace ).

Answer 2

Son notas que escribí una vez en un correo electrónico a un amigo, simplemente las copié y pegué; perdonen la informalidad y la falta de mayúsculas. El tema es "podrías haber inventado las resoluciones inyectivas", en la línea del famoso artículo expositivo "podrías haber inventado las secuencias espectrales". Asume algunos antecedentes en cohomología singular y una comprensión de por qué Cech (para la gavilla constante $\mathbb{Z}$ ) y la cohomología simplicial coinciden.

1. Afirmación: La cohomología de Cech tiene sentido geométrico. Generaliza los grupos de cohomología de un complejo simplicial. Puede resultar confuso cómo definir los grupos de cohomología de cech superiores, pero cech $h^1$ es algo que simplemente escribirías cuando estuvieras intentando expresar el problema global/local inherente a una gavilla y en un buen día imitarías las convenciones de signos de la homología singular para obtener las convenciones de signos para los grupos de cohomología de cech superior. La dependencia de la elección de la cubierta abierta sería confusa; puede que no se te ocurriera el truco del límite directo, pero al menos se te ocurrirían cubiertas "suficientemente finas".

2. Afirmación: la cohomología de cech desaparece en flasques. Quiero argumentar que usted sabría que su teoría es incorrecta si esto no sucede.

3. Afirmación: una secuencia exacta corta de gavillas induce una secuencia exacta larga de cohomología de cech. Sospecharías esto si hubieras hecho suficiente cohomología singular, y entonces te sentarías y lo demostrarías.

4. Afirmación: La cohomología de Cech puede calcularse mediante resoluciones flasque. Esto se deduce formalmente de 2 y 3 y es algo que harías todo el tiempo si realmente quisieras calcular la cohomología de cech.

5. Es difícil demostrar algo sobre la cohomología de Cech a partir de la definición (por ejemplo, ¿por qué desaparece en afines?) ¿Por qué no intentar definir la cohomología en términos de resoluciones de flasque?

6. He aquí por qué: dada una resolución de flasque de $F$ y una resolución flasque de $G$ no hay garantía de que una resolución se corresponda con la otra. Por tanto a. no es inmediato que lo que definirías sería independiente de la elección de la res flasque. b. incluso si lo demostraras (trasladando todo a tu definición cech-teórica) no obtendrías los mapas deseados $H^i(X, F) \to H^i(X, G)$ .

7. ¿hay algún tipo especial de resoluciones flasque que tengan propiedades de functorialidad? respuestas:

a. sí, así es como godement definió sheaf coh - construyó un flasque res canónico para cualquier sheaf.

b. mejor, las gavillas inyectivas son flasque, y tienen buenas propiedades de functorialidad, que se siguen de la definición de injectivas. además las resoluciones inyectivas siempre existen. así que ¿por qué no usarlas?

entonces el milagro parece ser que esta intuición geométrica realmente nos permite definir funtores derivados a la derecha para cualquier functor exacto a la izquierda de cualquier categoría abeliana, lo que me gusta más que cuando el milagro era al revés (el sinsentido abstracto definía algo con contenido geométrico).