Si $A^2=B^2$ y $AB=BA$ y $\det(A+B)=0$

Question

Que $A, B \in M_n(\mathbb{C})$ distintas matrices tales que el $A^2=B^2$ y $AB=BA$. Prueba $\det(A+B)=0$

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De $A^2=B^2$ y $AB=BA$ obtenemos $(A-B)(A+B)=0_n$ por lo tanto, $\det(A+B)=0$ o $\det(A-B)=0$.

Ahora Supongamos que $A+B$ invertible. Entonces ${(A+B)}^2$ invertible por lo tanto $A^2 + 2AB + B^2$ invertible y, desde aquí, $A^2 + AB$ invertible, por lo tanto, $A, B$ invertible. No consigo una contradicción para esta suposición.

Answer 1

Si $A+B$ es invertible, entonces implica la $(A+B)(A-B)=0$ $A-B=0$, así que el $A=B$, una contradicción.

(He actualizado la respuesta para tener en cuenta la actualización de la pregunta).