¿Es el grupo de difeomorfismos un grupo de Lie?

Question

Consideremos una variedad lisa y el grupo de difeomorfismos (o isometrías (locales) en el caso de las variedades riemannianas) $\varphi:M \rightarrow M$ . ¿Cómo se puede definir una estructura suave en este grupo, para que se convierta en un grupo de Lie?

Saludos

Answer 1

Esto está descaradamente sacado de "Milnor, Remarks on infinite dimensional Lie Groups. En: Relatividad, Grupos y Topología II ."

Dotación $M$ con una métrica riemanniana arbitraria (siempre posible a través de la magia de las particiones de la unidad) y dejemos que $V = \operatorname{Vect}(M)$ sea el espacio de campos vectoriales suaves sobre $M$ . Este espacio $V$ es el espacio vectorial topológico localmente convexo en el que vamos a basar la estructura suave de $\operatorname{Diff}(M)$ . Sea $\epsilon >0$ sea lo suficientemente pequeño para que todas las geodésicas estén definidas de forma única por sus puntos finales (es decir, que defina una vecindad geodésicamente convexa alrededor de cada punto). Definir $$V_0 = \{ (x \mapsto v(x)) \in V: \| v(x) \| < \epsilon, \forall x \in M \}$$ y para cada $v \in V_0$ definir el mapa $\phi_v: M \to M$ que lleva $p \in M$ al punto final del segmento geodésico con punto inicial $p$ Velocidad inicial $v(x)$ y la longitud $\| v(x) \|$ . Nuestra condición de $\epsilon$ garantiza que esto está bien definido.

Esto define un homeomorfismo $\phi: V_0 \to U_0\subseteq C^\infty(M,M)$ donde los elementos de $U_0$ son los $f:M \to M$ lo suficientemente cerca de $\operatorname{id}_M$ para que $f(p) \neq -p$ . Sea $U_1 \subseteq U_0$ sean los difeomorfismos de $U_0$ y $V_1 = \phi^{-1}(U_1)$ para que $\phi^{-1}: U_1 \to V_1$ es un gráfico de $\operatorname{Diff}(M)$ . Como $\operatorname{Diff}(M)$ es un grupo, se puede construir un atlas tomando todas las izquierdas- $\operatorname{Diff}(M)$ traduce de $U_1$ y esto da la estructura suave.

Answer 2

Véase el punto 1.3.2 del documento, Grupos de Lie de dimensiones infinitas .