Supongamos que tenemos un campo finito de extensión de la $\mathbb Q \subset K$ y un polinomio irreducible $P \in K[X]$.
Deje $L$ ser el cierre de Galois $K$, $G$ ser el grupo de Galois de $\mathbb Q \subset L$, e $H$ ser el subgrupo de $G$ fijación $K$. A continuación, $G$ actúa en $L[X]$$\sigma(\sum a_i X^i) = \sum \sigma(a_i)X^i$, e $H$ es todavía el subgrupo de $G$ fijación $K[X]$.
A continuación, defina $\tilde{P} = \prod_{\sigma \in G/H} \sigma(P)$. Para cualquier $\sigma$ en $G$, $\sigma(\tilde{P}) = \tilde P$, por lo tanto $\tilde P \in \mathbb Q[X]$, y creo que debería ser irreducible sobre $\mathbb Q$ si $K$ es la extensión generados por los coeficientes de $P$.
Y hasta ahora, el cálculo es el polinomio en el grado de la extensión de $\mathbb Q \subset L$ (que puede ser exponencial en el grado de $K$) y en el grado de $P$.
Si usted no sabe exactamente lo $L$ $G$ son pero usted sabe que el conjunto de los conjugados $C_i$ de cada coeficiente de $a_i$$P$, definir
$$\tilde P = \prod_{(b_0, \ldots, b_n) \in C_0 \times \ldots \times C_n} (b_0 + b_1 X + \ldots b_n X^n)$$
Esto va a producir un polinomio en $\mathbb Q[X]$, pero puede ser extremadamente mayor que el polinomio mínimo.
Aquí usted escoge un conjugado para cada coeficiente, y el producto de todos los posibles simultánea opciones de los conjugados. Si usted tiene uno de los coeficientes con 2 conjugados y otro con 3, y todos los demás coeficientes son racionales, entonces usted tiene 6 polinomios para multiplicar.
Por último, si usted no sabe los conjugados de los coeficientes, pero usted sabe algunos aniquilando polinomio para cada coeficiente, vamos a $C_i$ ser un conjunto formal de las raíces de los polinomios, y formalmente expandir el producto. Obtendrá una expresión que implique la formal raíces simétricamente así que usted puede escribir con la primaria simétrica polinomios de esas raíces, y, a continuación, utilizar la Viete relaciones y reemplazar aquellos con los correspondientes coeficientes de la aniquilación de los polinomios.
Sin embargo, estos dos métodos puede ser exponencial en el grado de $P$, así que usted debe evitar si es posible.
En el peor de los casos, el grupo de Galois de $\mathbb Q \subset K$$S_n$, lo que significa que tenemos para hacer cálculos en una gran extensión de campo.
supongamos $K$ es de grado $n$ $P$ es de grado $d$. Se puede estimar de la fórmula genérica que se utilizan para transformar $P$ a un polinomio con coeficientes racionales.
Pick $L = \mathbb Q(Y_1, \ldots, Y_n)$, vamos a $Z_1, \ldots, Z_n$ ser la primaria simétrica polinomios en $Y_i$, pick $K_0 = L^{S_n} = \mathbb Q(Z_1, \ldots, Z_n)$, e $K = K_0(Y_1)$, por Lo que la extensión de $K_0 \subset K$ es el "genérico" extensión de grado $n$$\mathbb Q$.
Entonces decir $P = \sum a_i X^i$ donde $a_i \in K = K_0[Y_1]$ y son de grado $ < n$.
Así que usted puede escribir $P = \sum b_{i,j} X^i Y_1^j$ donde $b_{i,j} \in K_0$, e $(i,j) \in \{0 \ldots d \} \times \{0 \ldots n \}$. Agregar indeterminates $B_{i,j}$, por lo que ahora $P$ es un elemento de $K[B_{i,j},X]$. Podemos calcular el producto $\prod_{k=1}^n P(Y_k,B_{i,j},X)$$L[B_{i,j},X]$, ya que es simétrica, escribe como un elemento de $K_0[B_{i,j},X]$.
De hecho, dado que los coeficientes de $P$ son polinomios en $Y_1$ con coeficientes enteros, este será un polinomio en $\mathbb Z[Z_i, B_{i,j},X]$ grado $dn$$X$, homogénea de grado $n$$B_{i,j}$.
Para cualquier elección de $n$ indeterminates entre el $B_{i,j}$, $B_{i(1),j(1)} \ldots B_{i(n),j(n)}$ aparecerá acompañado con $X^{i(1)+\ldots i(n)}$ y un polinomio en $Z_k$ grado $j(1)+\ldots j(n) \le n^2$$Y_k$. Así obtenemos menos de $(n+d)!/n!d! * n^{2n}/n!$ términos en la final del polinomio. A pesar de que puede haber un mejor obligado en la complejidad de los polinomios en la $Z_k$ que son de un grado menos de $n^2$ $n^{2n}/n!$ (en particular, no todos ellos deben ser capaces de aparecer).
La buena cosa es que este es el polinomio en $d$ al $n$ es fijo, y es probablemente exponencial en $n$ al $d$ es fijo. Y cuando dos de ellos varía, es exponencial en $d$$n$.
