Demostrar que si $A^2=0$ entonces $A$ no es invertible

Question

Dejemos que $A$ sea $n\times n$ matriz. Demostrar que si $A^2=\mathbf{0}$ entonces $A$ no es invertible.

Answer 1

Sin determinante.

Supongamos que $A$ es invertible por la derecha. Esto significa que existe $B$ tal que $AB=I$ Por lo tanto $A^2B=A$ . Desde $A^2=0$ Se sabe que $A^2B=0$ Por lo tanto $A=0$ . Pero la matriz $0$ no es invertible por la derecha, por lo que la hipótesis era falsa. Esto demuestra que $A$ no es invertible por la derecha.

Del mismo modo, si se asume que $A$ es invertible por la izquierda, es decir, que existe $B$ tal que $BA=I$ .

Como se explica en un comentario, en el caso dimensional infinito, el hecho de que $A$ no es inyectiva (como demostró Andrés) impide $A$ para ser invertible a la izquierda pero no a la derecha.

Answer 2

Esto es simplemente un caso especial del hecho de que, en cada anillo, una unidad no es un divisor de cero, $\:$ desde $\rm\ A' A = 1,\ AB = 0\ \Rightarrow\ B = (A'A)B = A'(AB) = 0\:.\: $ El problema es el caso especial $\rm\ B = A\:.$

Informalmente: un anillo colapsa al anillo cero si se adjunta un inverso de $0$ (o un divisor de cero).

Answer 3

Creo que para un problema como éste, el uso de determinantes (o la invocación del teorema de la nulidad) acaba ocultando lo que realmente ocurre.

En lugar de ello, le sugiero que simplemente argumente sobre esto directamente: $A^2=0$ significa que $A^2v=0$ para cualquier $v$ . Entonces $A(Av)=0$ para cualquier $v$ .

Si para algunos $v$ tenemos $w=Av\ne 0$ entonces $A$ no es inyectiva, porque $$Aw=A(Av)=A^2v=0,$$ y hemos terminado.

Otra cosa, $Av=0$ para todos $v$ y luego $A=0$ que por supuesto no es invertible.

Answer 4

$0=\det (A^2) = (\det A)^2$ . Por lo tanto, $\det A=0$ .

Answer 5

Si $A$ es invertible entonces $I=AB$ para algunos $B$ . Entonces $A=AI=A^2B=0$ y así $A=0$ pero $0$ no es invertible.