Demostrar que si $A^2=0$ entonces $A$ no es invertible

Question

Dejemos que $A$ sea $n\times n$ matriz. Demostrar que si $A^2=\mathbf{0}$ entonces $A$ no es invertible.

Answer 1

Si $A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ entonces $\text{rank}(A) + \text{rank}(B) - n \leq \text{rank}(AB) \leq \text{min}(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$ .

Aquí $A=B$ y $A^2 =0$ . Por lo tanto, $\text{rank}(A^2) = 0$ .

Por lo tanto, si $\text{rank}(A) = k$ entonces tenemos $$k+k - n\leq 0 \leq k$$

De lo cual obtenemos que $0 \leq k \leq \frac{n}{2}$ .

Así que esto implica que no sólo el determinante $0$ y no hay ningún inverso, pero tampoco puede haber más de $\frac{n}{2}$ filas/columnas linealmente independientes de la matriz $A$ .

Answer 2

Bueno, he oído que cuantas más formas de demostrar algo, mejor. :) Así que aquí tienes un esbozo de la prueba que me ha venido a la mente inmediatamente, aunque puede que no sea tan ágil como algunas de las otras buenas que hay aquí:

Demostremos el contrapositivo, es decir, si $A$ es invertible entonces $A^2 \neq 0$ .

Si $A$ es invertible, entonces podemos escribirla como un producto de matrices elementales,

$$A = E_n...E_1I$$

Entonces $A^2$ puede escribirse como

$$AA = (E_n...E_1I)(E_n...E_1I) = (E_n...E_1 E_n...E_1)I$$

que es una secuencia de operaciones elementales de fila sobre la matriz identidad. Pero esto nunca producirá la matriz cero $0$ . QED.

Answer 3

Supongamos que existe una inversa denominada A -1 . Entonces tienes AA = 0 y luego multiplicarlo por su inverso A -1 tienes AAA -1 \= 0A -1 \= A = 0 .

Ahora bien, dada la definición de 0 :

Dada una matriz M y la 0 vector M 0 = 0 = 0 M.

Por lo tanto, por definición de 0 no puede tener un inverso.