¿Existen funciones que satisfacen$f(x+y)=f(x)+f(y)$ que no son lineales?

Question

¿Existen funciones$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$% tal que $f(x+y)=f(x)+f(y),$pero que no son lineales? Te apuesto a que existen, pero no puedo pensar en ningún ejemplo.

Por otra parte, ¿qué hipótesis qué necesitamos para poner en$f$ antes de que no existan las funciones? Siento continuidad debería ser suficiente.

Answer 1

Si la continuidad es suficiente: puede mostrar rápidamente que$f(x)=x\cdot f(1)$ para$x\in\mathbb N$, después de$x\in\mathbb Z$ y después de$x\in\mathbb Q$; que garantiza la continuidad, esto implica la validez de todos los$x\in\mathbb R$.

Las otras funciones que sólo existen por axioma de elección: Vista$\mathbb R$ como un espacio vectorial sobre$\mathbb Q$ tomare$\mathbb Q$ - aplicación lineal (que no tiene que ser$\mathbb R$ - lineal) .

Answer 2

Además, es bien sabido que el gráfico $\{(x, f(x):x\in \Bbb R\}$ de cada solución $f$ excepto que es densa en el plano $f(x)=ax$ $\Bbb R^2$.