L ' Hospital ' regla de s con un denominador que desaparece

Question

Estoy teniendo problemas con una pregunta de tarea que parece muy simple, y obtengo la respuesta equivocada.

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-4x}}{x}$$

Luego llego el derivado de la parte superior y parte inferior y me sale

$$(1+2x)^{\frac{-1}{2}} - 2(1-4x)^\frac{-1}{2}$$

Enchufar en $0$ me da $-1$ y no estoy seguro por eso mi respuesta no coincide con la respuesta del libro de $3$. Rara vez puedo obtener la respuesta del libro así que supongo que sólo que el autor no realmente espera obtener la respuesta tu propio.

Answer 1

Regla de L'Hopital funciona muy bien aquí, pero que puede llegar a funcionar con menos maquinaria. Por nota que$$\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-4x}}{x}=\frac{(\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-4x})(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-4x})}{x(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-4x})}.$ $ Cuando multiplicamos por la parte superior, obtenemos$(1+2x)-(1-4x)$, que es$6x$. Cancelar el$x$ con el$x$ en el denominador. Por lo que queremos$$\lim_{x\to 0}\frac{6}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-4x}},$ $ que es fácil.

Answer 2

Me imagino que cuando diferenciadas $-\sqrt {1\color{maroon}-4x}$, se olvidó de las $\color{maroon}{\text{negative sign}}$ cuando se utiliza la regla de la cadena: $$ {d\más de dx}\estilo de texto\bigl(-\sqrt{1 \color{color granate}-4x}\bigr)=-{1\over2} (1-4x)^{-1/2}\cdot (\color{color granate}-4x)'=- {1\over2} (1-4x)^{-1/2}\cdot (-4)= 2(1-4x)^{-1/2}. $$

Y un poco de asesoramiento, si se me permite:

Pequeños errores pueden, por supuesto, dar respuestas muy distintas. Esta es una razón ¿por qué me aconsejan que uno siempre debe de escribir y justificar cada paso de la solución. Escribir la solución como si fuera a aparecer en el manual de soluciones. Entre otras ventajas, será mucho más fácil, a continuación, a través de su obra posterior y descubrir al acecho de los errores.

Tenga en cuenta que usted puede calcular el límite de André Nicolás respuesta. (Sería una buena práctica para ir a través de ambos métodos).

Answer 3

En esta respuesta, fue demostrado que multiplicar por $\dfrac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}$ rinde $$ \sqrt{1+x}-1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}\tag{1} $$ Dividiendo $(1)$ $x$ y tomando límites tenemos $$ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac12\tag{2} % Aplicación de $$ $(2)$$$ los rendimientos \begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-4x}}{x} &=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}-\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-4x}-1}{x}\\ &=2\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{2x}+4\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-4x}-1}{-4x}\\ &=2\cdot\frac12+4\cdot\frac12\\ &=3\tag{3} \end {Alinee el} $$

Answer 4

Si la respuesta es $3$, sospecho que has malinterpretado el problema, y que debe ser $$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-4x}}x\;.$$ This is a genuine $0/0$ indeterminate form, and after applying l'Hospital's rule you get $$\lim_{x\to 0}\left((1+2x)^{-1/2}+2(1-4x)^{-1/2}\right)=1+2=3\;.$$

Añadió: Y parece que mi suposición era correcta. Simplemente había un cartel de error en la toma de la derivada del segundo término en el numerador.

Por cierto, el autor hace esperar a obtener la respuesta. Si rara vez se obtiene la respuesta del libro, esto es una indicación de que usted está perdiendo algunas ideas clave, o estás haciendo un montón de relativamente menores errores de cálculo. En este problema fue el último.