¿Por qué los sistemas locales en un espacio analítico complejo equivalente al vector de paquetes con conexión plana?

Question

Deje X sea un espacio analítico complejo. Es un "hecho conocido" que las categorías de sistemas locales en X (es decir, localmente constantes poleas con tallo C ^ n), y del vector (foliaciones) paquetes en X con conexión plana, son equivalentes. He estado buscando una prueba de ello, pero cada referencia puedo encontrar simplemente dice algo como 'esto es bien conocido", sin más argumento. ¿Alguien sabe de una prueba?

Answer 1

El punto importante de la prueba de que cualquiera de estos objetos puede ser trivializado localmente con funciones de transición en cada traslapo doble dado por un elemento constante de GL(n). Por lo tanto, dado un sistema local, sólo construyes el paquete del vector con conexión plana que tiene las mismas funciones de transición, y viceversa.

Edición: Brian Conrad señala a continuación que si bien esto es un esbozo bastante completo en el caso de liso, requiere más trabajo en el caso singular.

Answer 2

También puede ser que desee para leer a Carlos Simpson papel de "Módulos de representaciones del grupo fundamental de un suave variedad proyectiva", partes I y II. En él se explica en gran detalle cómo hacer que el conjunto de objetos de cada una de estas categorías en los puntos de una variedad algebraica, y por qué estas variedades algebraicas son analíticamente, pero no de manera algebraica isomorfo. Él no utiliza la categoría en la perspectiva de la teoría de mucho, como recuerdo, pero él es muy valiosa para entender cómo trabajar con módulos de hormigón espacios.

Answer 3

Más explícitamente, dado un sistema local V de tomar el vector paquete que se E=V \otimes_{C} O_X, donde O_X es la estructura de la gavilla, y el uso d: O_X --> \Omega_X para definir el plano de conexión en E. por el Contrario, dado D:E --> E\otimes\Omega_X tomar V ker(D).

Y si la analítica del espacio está conectado, se puede añadir uno más de equivalencia: una vez que elegimos un punto x en el espacio (la elección de una "fibra functor"), estas dos categorías son equivalentes a las complejas representaciones de \pi_1(X,x) (la "Tannaka dual").