La prueba de que si el grupo $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es conmutativa

Question

Estoy buscando una prueba correcta de esta declaración: Si el $G$ es un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es conmutativa.

Prueba: $G/Z(G)$ es isomorfo a $\operatorname{Inn}(G)$ y cíclica y luego cada $a$ y $b$ $G$ el interior isomorfismos $\gamma_a$ y $\gamma_b$ satisfacen $\gamma_a \gamma_b = \gamma_{ab} = \gamma_{ba} = \gamma_b \gamma_a$ y por lo tanto cada $a,b \in G$, $ab = ba$.

¿Es eso prueba completa, o me falta algo? Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

Un problema con el que se intenta es que parece que desea utilizar sólo el hecho de que el interior automorphism grupo abelian, pero esto no es suficiente. Hay nonabelian grupos $G$ tal que $G/Z(G)$ es abelian, como el grupo de simetrías del cuadrado. Por lo tanto, no se sigue de $\gamma_{ab}=\gamma_{ba}$ que $ab=ba$.

Por lo que necesita utilizar la hipótesis de que la $G/Z(G)$ tiene un único generador. Robin Chapman señalado aquí lo que se puede concluir a partir de esto, así que bien podría citarlo:

Cada elemento de a $G$ tiene la forma $a^nz$ donde $a$ es fijo e $z\in Z(G)$...