secuencias vercongentes

Question

Definición- Decimos que una secuencia $(x_n)$ verconges a $x$ si existe un $\epsilon>0$ tal que para todo $N\in \Bbb{N}$ , $n\ge N \implies |x_n-x|<\epsilon$ .

En términos generales, por secuencia convergente entendemos que una secuencia es convergente a algún punto $x$ si podemos confinar su "cola" infinita en alguna vecindad de $x$ .

En palabras similares, vercongent debería significar, que una secuencia $(x_n)$ es vercongent a $x$ si nos dan un punto en su "cola" infinita, digamos $\mathfrak{n}\in \Bbb{N}$ Entonces podemos poner un muro alrededor de $x$ , en el que toda la cola después de $\frak{n}$ debe mentir.

Pregunta- Dé un ejemplo de secuencia convergente y uno que es no vercongente o verdigente

Según yo $(x_n)=\{1,\frac12,\frac13, \frac14, \dots \}$ verconges a $0$ , también a $1$ como para cualquier $n\in \Bbb{N}$ todos los términos después de $n$ se encuentra en $\epsilon=\frac{1}{n}$ barrio de $0$ , claramente, y para $1$ nosotros $\epsilon=\frac{n-1}{n}$ funciona. Supongo que un convergente secuencia es también vercongent Con el mismo límite, cualquier límite más, casi cualquier número funciona como límite, ¿estoy en lo cierto?

Pero la secuencia $\{1,-1,1,-1,1,-1,\dots\}$ no es convergente ya que es oscilante pero es vercongent como para cualquier número natural $\frak{n}$ siempre podemos elegir $\epsilon=10$ alrededor de $0$ o $1$ o $-1$ , por lo que verconges a muchos números, un epsilon suficientemente grande funcionará. Así, vercongent no implica convergente .

Pero por otro lado, la secuencia $\{1,2,3,\dots \}$ ni converge ni verconges .

Por favor, corrígeme si me equivoco en esta comprensión de este ejercicio del libro de Abbott " Comprender el análisis ."

Answer 1

Reclamación: Cualquier secuencia de valores reales es "vercongente" si y sólo si está acotada, en cuyo caso "vercongesa" a todo número real.

Prueba de suficiencia: Si $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ está acotado, entonces existe algún $M>0$ tal que $|x_n|<M$  para todos $n\in\mathbb N$ . Por lo tanto, la secuencia "verconges" a $0$ . De hecho, "verconges" a cualquier número $x\in\mathbb R$ , como $|x_n-x|\leq|x_n|+|x|<M+|x|$ para cualquier $n\in\mathbb N$ .

Prueba de necesidad: Supongamos que $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ "verconges" a $x\in\mathbb R$ y que $\varepsilon >0$  sea la constante de "vercongencia". Entonces, dejando que $N=1$ en la definición de "vercongencia", se tiene que para cualquier $n\in\mathbb N$ , $$|x_n|\leq |x_n-x|+|x|<\varepsilon+|x|.$$

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Añadido (generalización a los espacios métricos): Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico.

Definición: Una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ en $X$ es vercongent a $x\in X$ si existe algún $\varepsilon>0$ tal que $d(x_n,x)<\varepsilon$  para todos $n\in\mathbb N$ .

$$\phantom{}$$

Reclamación: Cualquier secuencia en $X$ es vercongente si y sólo si es acotado, en cuyo caso vercongesa a todo $x\in X$ .

Prueba de suficiencia: Si $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ está acotado, entonces el conjunto $\{x_n\,|\,n\in\mathbb N\}$  puede incluirse en una bola abierta suficientemente grande. Es decir, existe algún $M>0$  y $y\in X$ tal que $d(x_n,y)<M$  para todos $n\in\mathbb N$ . De hecho, la secuencia es vercongente a cualquier $x\in X$ ya que $$d(x_n,x)\leq d(x_n,y)+d(y,x)<M+d(x,y)\quad\text{for every $ n\n\nmathbb N $}.$$

Prueba de necesidad: Supongamos que $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ verconges a $x\in X$ y que $\varepsilon >0$  sea la constante de vercongencia. Entonces, es fácil comprobar que $$\{x_n\,|\,n\in\mathbb N\}\subseteq B(\varepsilon, x).$$

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Una definición alternativa, y quizás más utilizada, de la delimitación de un subconjunto $A\subseteq X$ de un espacio métrico $(X,d)$ es que su diámetro $$\operatorname{diam}(A)\equiv\sup_{x,y\in A}d(x,y)\tag{$ \N - Clubsuit $}$$ es finito. Para ver que esto es equivalente a la definición utilizada anteriormente, supongamos primero que hay algún $z\in X$ y $M>0$ tal que $A\subseteq B(M,z)$ . Entonces, para cualquier $x,y\in A$ , uno tiene $$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<2M,$$ para que $\operatorname{diam}(A)\leq2M<\infty$ . A la inversa, si el supremum en ( $\clubsuit$ ) es finito, entonces elige cualquier $x\in A$ (si $A$ es vacía, se incluye trivialmente en cualquier bola abierta). Entonces, para cualquier $y\in A$ , $$d(y,x)\leq\operatorname{diam}(A)<\operatorname{diam}(A)+1,$$ para que $$A\subseteq B(\operatorname{diam}(A)+1,x).$$

Answer 2

Tienes razón en que vercongent es más general que convergente pero tenga en cuenta que vercongent no tiene en realidad que ver con la cola de $(x_n)$ . De hecho, dado que para todos los $N\in\mathbb{N}$ tenemos $n\geq N\implies |x_n-x|<\epsilon$ podemos tomar $N=1$ en particular para ver que $|x_n-x|<\epsilon$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Por lo tanto, una secuencia vercongente es acotada; ¿se puede demostrar que toda secuencia acotada es vercongente (a cualquier punto en $\mathbb{R}$ )?

Answer 3

Sí. Esta horrible distorsión del inglés (y del latín) es un sinónimo de acotado: una secuencia $x_n$ es "vercongente" (a lo que quieras) si para algunos $b$ , $|x_n| < b$ para todos $n$ .