Cuántas soluciones racionales no $(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$?

Question

Cuántas soluciones racionales no $(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$?

No sé cómo empezar...

Answer 1

Deje $ y=x^2+4x+8 $. Su ecuación se convierte en $ 0=y^2+3yx+2x^2=(y+x)(y+2x)$. Así que sólo tienes que resolver 2 ecuaciones cuadráticas. Resolver ellos y verás que la respuesta es 2

Answer 2

Vamos a empezar por la aplicación de la fórmula cuadrática.

Tenemos: $(x^{2}+4x+8)^{2}+3x\hspace{1 mm}(x^{2}+4x+8)+2x^{2}=0$

$\Rightarrow x^{2}+4x+8=\dfrac{-3x\pm\sqrt{(3x)^{2}-4(1)(2x^{2})}}{2(1)}$

$\hspace{27.75 mm} =\dfrac{-3x\pm{x}}{2}$

$\hspace{27.75 mm} =-2x,-x$

A continuación,

$\Rightarrow x^{2}+4x+8=-2x$

$\Rightarrow x^{2}+6x+8=0$

$\Rightarrow x^{2}+2x+4x+8=0$

$\Rightarrow x\hspace{1 mm}(x+2)+4\hspace{1 mm}(x+2)=0$

$\Rightarrow (x+2)(x+4)=0$

$\Rightarrow x=-2,-4$

o

$\Rightarrow x^{2}+4x+8=-x$

$\Rightarrow x^{2}+5x+8=0$

$\Rightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4(1)(8)}}{2(1)}$

$\hspace{9 mm} =\dfrac{-5\pm\sqrt{-7}}{2}$

$\hspace{9 mm} =\dfrac{-5\pm\sqrt{7}i}{2}$

$\hspace{9 mm} =\dfrac{-5-\sqrt{7}i}{2},\dfrac{-5+\sqrt{7}i}{2}$

Sin embargo, $x\in\mathbb{Q}$.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x=-2$$x=-4$.

Answer 3

Todavía podemos utilizar el clásico "completar cuadrados" truco para hacer esto sin tener que utilizar el "doble" de las variables, como se muestra por la primera respuesta. Para este fin, se tiene: $\left((x^2+4x+8) + \dfrac{3x}{2}\right)^2 - \dfrac{9x^2}{4}+2x^2=0\implies \left((x^2+4x+8)+\dfrac{3x}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{x}{2}\right)^2$. Ahora mediante la conocida fórmula $a^2 = b^2 \implies a = \pm b$ para saldar la respuesta.