Un teorema se define como un enunciado matemático que se ha demostrado para ser verdad. La declaración $1+1=2$ sin duda ha sido demostrado en la historia de la humanidad (Russel y Whitehead había una vez demostrado en el libro Principia Mathematica).
Por lo que puede ser considerado como un teorema? Lo que determina que algo sea un teorema (además de ser probado para ser verdad)?
La única cosa que hace algo un teorema (en un determinado sistema de deducción) es que, si una prueba de ello es conocido.
Ahora, con respecto a $1+1=2$, primero se debe ser muy preciso acerca de lo que los símbolos significan y lo que el sistema de deducción es que permiten a las pruebas para ser escrita. Una vez que uno se pone en los detalles, las cosas se vuelven menos y menos trivial, y lejos de ser obvia o directa.
Así que, ¿qué entiende usted por $1$? ¿qué entiende usted por $2$? y ¿qué significa para ti $+$? y lo que es más importante, ¿a qué te refieres por "prueba"? Diferentes respuestas a estas preguntas dará lugar a diferentes respuestas a la pregunta "es de $1+1=2$ un teorema?". Usted puede aprender más acerca de estos problemas mediante el estudio de la lógica (modelo de la teoría) y, en particular, el conjunto de axiomas conocidos como los axiomas de Peano.
Sólo para ilustrar el uso de dos posibles interpretaciones (y evitar una definición precisa de la prueba, por lo tanto confiar en algunos comprensión intuitiva de lo que es). Si definimos $2$ a ser una abreviatura de $1+1$, suponiendo que sabemos lo $+$, entonces $1+1=2$ es, ciertamente, un teorema, con una muy corta de la prueba. Sin embargo, un más refinado posibilidad es definir los números naturales como ciertos conjuntos y, a continuación, definir el plus de la operación por inducción. Entonces (comúnmente) $0=\emptyset$, $1=\{0\}$, y $2=\{0,1\}$. La definición real de $+$ es un poco más difícil, pero se puede, muy fácilmente, se muestra que $1+1=2$. Espero que esto explique mejor las cosas.
Teoremas se demuestran a partir de los axiomas, las definiciones son axiomas.
Si se define que los símbolos $1+1=2$, entonces implícitamente escribió un axioma que conecta los símbolos, y demuestra que $1+1=2$ es un enunciado verdadero.
A menudo, sin embargo, utilizamos la palabra "teorema" de las declaraciones de cuyas pruebas no son triviales. En este caso, si se definen $2$ 1 $+1$, entonces este no es un teorema, esta es una definición.
Por último, como Ittay escribió, usted tiene que ser muy cuidadoso acerca de esto. Las matemáticas requieren de precisión, cuáles son los axiomas que está asumiendo? ¿Cuál es el significado de los símbolos, y así sucesivamente.
Para más información, consulte la siguiente:
El término teorema, y otras palabras similares a lexema; proposición; y corolario, o en otros términos relacionados como la definición y el axioma, se utilizan a menudo para pedagógicas razones más que para la técnica matemático.
Así, usted tiene que interpretar su uso no como algo con contenido matemático, sino porque el autor está tratando de connotar algo a través de su elección de los términos.
Dependiendo de su punto de partida teórico, $1+1=2$ puede ser una definición o un teorema.
Si usted comienza con la adición de números naturales ya definido, entonces usted puede simplemente definir $1+1$ $2$.
Si usted comienza con sólo una función sucesor (sin adición) como en la versión moderna de los Axiomas de Peano, que podría definir el sucesor de $1$ $2$. Entonces usted tendría que construir el complemento de la función mediante la selección de un subconjunto apropiado de la misma $A$ a partir del conjunto de ordenadas ternas de números naturales $N^3$, probar que en realidad es una función, que tiene las propiedades necesarias de un complemento de la función, y que $(1,1,2)\in A$. Entonces usted tendría que definir $x+y=z\leftrightarrow (x,y,z)\in A$. Mus $1+1=2$ sería un teorema.
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