La convergencia de la Serie de Fourier

Question

Hay un $f\in L^1(\mathbb{T})$ cuya serie de Fourier converge a.e. en $\mathbb{T}$ pero no.e. a $f$?

Answer 1

Si la serie de Fourier de $f \in L^1(\mathbb T)$ converge a $g$ pointwise en casi todas partes, a continuación, se van a converger en Cesàro significar también para la misma función. Además, el Cesàro media de la serie de Fourier de $f$ convergerán en $L^1(\mathbb T)$$f$.

Reclamo: $f$ $g$ deben de coincidir.

Edit: Hay un error en el siguiente argumento, voy a arreglar mañana. Estoy muy cansado ahora.

Deje $f_n$ convergen a $f$ $L^1$ y deje $f_n$ convergen casi todas partes a $g$ donde $g \neq f$ en casi todas partes.

Deje $\mu$ ser la medida, tenga en cuenta que

$$ \begin{align} \mu \{|f_n - f| \geqslant \varepsilon \} &\leqslant \frac1{\varepsilon} \int_{\{|f_n - f| \geqslant \varepsilon\}} \varepsilon \, \textrm{d}\mu\\ &\leqslant \frac1{\varepsilon} \int |f_n - f| \, \textrm{d}\mu.\tag{1} \end{align} $$ Y la RHS va a $0$ todos los $\varepsilon > 0$. Ahora fix $\varepsilon > 0$ y considerar $$M := \{x : |f(x) - g(x)| \geqslant \varepsilon \}.$$ Vamos a mostrar que este es un conjunto null. Supongamos como de la contradicción que $M$ tiene medida positiva. Además, definir $$M_m := \{x : |f_n(x) - g(x)| \leqslant \varepsilon \text{ for all } n \geq m \}.$$ Estos son claramente medibles aumentar pone en $m$. Como tenemos que $f_n \to g$ en casi todas partes. Así que casi todos los $x$ $M$ está contenida en uno de los $M_m$. Por lo tanto la unión $$\bigcup_{n = 1}^\infty M_n$$ es igual a $M$ a excepción quizá de un conjunto null. Esto significa que $$\mu \left( \bigcup_{n = 1}^\infty M_n \right ) > 0.$$ Así que hay al menos un $M_m$ con medida positiva. Así que tenemos $|f_n(x) - f(x)| > \epsilon$ todos los $x$ esto $M_m$ y más $M_m$. Por lo tanto el lado izquierdo de $(1)$ no puede ir a $0$.

Más cosas interesantes:

Prueba de Kolmogorov (1923) - Une série de Fourier-Lebesgue divergente presqne partout da un ejemplo de una $L^1$ función que tiene casi todas partes divergentes serie de Fourier.

Para $1 < p < \infty$ este no será el caso, debido a la Carleson Caza de teorema.

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