Los productos de los conjuntos de un grupo de

Question

Deje $S$ $T$ no vacía de subconjuntos de un grupo de $G$. Como de costumbre,$ST=\{st : s \in S, t\in T\}$. ¿Qué se puede decir de los subgrupos $\langle ST\rangle$$\langle TS\rangle$? Por ejemplo, si la identidad de $1 \in S \cap T$, entonces es fácil ver que $\langle ST\rangle$ = $\langle TS\rangle$. También, si S y T son ambos los únicos, a continuación, $\langle ST\rangle$ $\langle TS\rangle$ son conjugados, ya que $ST$ $TS$ son conjugados establece en este caso. Se $\langle ST\rangle$ $\langle TS\rangle$ siempre conjugado?

Answer 1

Sí, $\langle ST \rangle^s = \langle TS \rangle$ cualquier $s \in S$.

Prueba: Consideremos $(s_i t_j)^s = s^{-1} s_i t_j s = s^{-1} t^{-1} t s_i t_j s = (ts)^{-1} (ts_i) (t_js) \in \langle TS \rangle$ donde t es cualquier elemento de T. Del mismo modo, $(t_i s_j)^{s^{-1}} = s t_i s_j s^{-1} = s t_i s_j t t^{-1} s^{-1} = (st_i) (s_jt) (st)^{-1} \in \langle ST\rangle$. La primera frase muestra $\langle ST \rangle ^s \leq \langle TS \rangle$ y el segundo muestra $\langle ST\rangle^s \geq \langle TS\rangle$, por lo que estamos por hacer. $\square$

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En caso de que usted es curioso, aquí es como yo:

Creo que ya sabes que $\langle ST \rangle$ $\langle TS \rangle$ no tiene que ser igual, ya que $st$ no tiene que ser una potencia de $ts$, por ejemplo teniendo $s=(1,2)$$t=(1,2,3)$. Por supuesto, pt y ts son conjugar de forma individual, ya sea por s o t. En particular, si bien S o T tiene un elemento, a continuación, PT y TS son conjugadas.

Una revisión rápida de los más pequeños no abelian grupo muestra que el PT y el TS no necesita ser conjugado en general: tomar S = { 1, (1,2) } y T = { (1,2,3), (2,3) } y, a continuación, PT y TS no son ni siquiera el mismo tamaño. En este caso los subgrupos generados por ST y TS sigue siendo el mismo, así que tenemos que esforzarnos un poco más.

Podemos utilizar una especie de universal de la construcción para el contraejemplo. Si no queremos que los subgrupos generados por ST y TS a ser conjugado, bien podríamos hacer G mínimo con respecto a la que contiene a S y T, que es $G = \langle S \cup T \rangle$. También no quiere que las cosas sean conjugado que no tiene que ser, por lo tanto no queremos G tiene ningún extra relaciones: G debe ser el libre grupo de S ∪ T. Ahora sólo tenemos que resolver un subgrupo conjugacy problema en un grupo libre.

Yo no sabía cómo hacerlo, así que he comprobado finito de coeficientes del grupo libre (código disponible a petición), y descubrió que no había contraejemplos de la pequeña orden o nilpotency clase. Entonces empecé a sospechar que yo necesitaba una muy complicado contraejemplo, o que incluso podría ser cierto.

El uso de la BRECHA paquete llamado FGA por Christian Sievers, uno ve que esto también se aplica si |S| ≤ |T| ≤ 100. De hecho, uno siempre puede tener la conjugación de elemento a ser un elemento arbitrario de S. Por ejemplo, |S| = |T| = 2 se controla con el siguiente código:

gap> m := 2;; n := 2;;
gap> f := FreeGroup( m + n );;
gap> s := GeneratorsOfGroup( f ){[ 1 .. m ]};;
gap> t := GeneratorsOfGroup( f ){[ m + 1 .. m + n ]};;
gap> st := Subgroup( f, ListX( s, t, \* ) );;
gap> ts := Subgroup( f, ListX( t, s, \* ) );;
gap> IsConjugate( f, st, ts );
true
gap> st^f.1 = ts;
true

Obviamente, una de las conjeturas que siempre se mantiene, y, de hecho, la prueba fue un fácil cálculo (en la parte superior de la respuesta).