Mental de la estimación para la tangente de un ángulo (de $0 a$ 90 $$ grados)

Question

¿Alguien sabe de una manera de calcular la tangente de un ángulo en su cabeza? La precisión no es muy importante, pero dentro de 5 $%$ % probablemente sería buena, el 10% puede ser aceptable.

Puedo calcular senos y cosenos bastante bien, pero considero que la división de valores arbitrarios a ser demasiado complejo para esta tarea. La multiplicación de un par de valores es generalmente aceptable, y de la suma y la resta son bellas.

Mi ángulos se expresan en grados, y prefiero no tener que convertir mentalmente a radianes, aunque puedo si es necesario. También, todos los ángulos estoy interesado en el rango de [0, 90 grados].

Yo también estoy interesado en la estimación de la arco tangente bajo las mismas condiciones, hasta dentro de unos 5 grados sería bueno.

Historia

Estoy trabajando en la estimación de la trayectoria del sol a través del cielo. Puedo calcular la declinación con bastante facilidad, pero ahora quiero estimación de la cantidad de luz del día en cualquier día del año y de la latitud. Tengo hasta el arco coseno de un producto de dos tangentes, pero la resolución de las dos tangentes ahora es mi punto de fricción. También quiero calcular la altitud del sol para cualquier momento del día, el día del año y la latitud, que he bajado a tan solo un arco tangente.

Answer 1

Si usted desea permanecer en el plazo de 10%, el siguiente modelo lineal por tramos función satisface $$.9\tan\theta \le y \le 1.1\tan\theta$$ $0\le\theta\le60$ grados:

$$ $ y={\theta\over60}\text{ para }0\le\theta\le20$$ $$ $ y={2\theta-15\over75}\text{ para }20\le\theta\le45$$ $$ $ y={\theta-20\over25}\text{ para }45\le\theta\le60$$

Podría ayudar a reescribir como

$$ $ y={5\theta\over300}\text{ para }0\le\theta\le20$$ $$ $ y={8\theta-60\over300}\text{ para }20\le\theta\le45$$ $$ $ y={4\theta-80\over100}\text{ para }45\le\theta\le60$$

así que usted realmente no tiene que dividir por algo más de $3 dólares. El segmento de línea aproximaciones mentira por encima de $\tan\theta$ de $\theta\approx25$ $\theta=45$ y a continuación en otro lugar, por lo que se recomienda redondear hacia abajo y hacia arriba en consecuencia, al hacer la aritmética mental.Es obviamente posible extender esto para ángulos superiores a $de$ 60 grados, pero si (o cuánto) puede hacerlo con fórmulas que utilizan sólo la "simple" multiplicaciones y divisiones no está claro.

Una palabra de explicación: Lo que traté de hacer, aquí se toma en serio el OP de la solicitud para las estimaciones se puede calcular en su cabeza. La habilidad para el cálculo mental, por supuesto, varía de persona a persona, así que me utiliza a mí mismo como un indicador. Como por donde las fórmulas de vino, mi punto de partida fue la observación de que el factor de conversión entre grados y radianes, $180/\pi$, es de aproximadamente $60$, por lo que la estimación de $\tan\theta\approx\theta/60$ se debe ACEPTAR por un tiempo. Un poco de ensayo y error demostró que es bueno hasta $\theta=20$ grados (desde $.9\tan20\aprox.328$). Era fácil ver que la conexión $(0,0)$ $(20,1/3)$ y $(20,1/3)$ $(45,1)$ con líneas rectas iba a permanecer dentro de los límites prescritos. Por último, señalar que $.9\tan60\approx1.55$, vi que la conexión de la línea $(45,1)$ $(60,1.6)$ iba a tener una buena pendiente y mantenerse dentro de los límites prescritos así.

Answer 2

Considerar trivial identidad trigonométrica: $$\tag 1\tan(a+b) = \frac {\tan a + \bronceado b}{1-\tan\bronceado b} $$ Ahora sustituye: $$\tan a = N_1/D_1$$ $$\tan b = N_2/D_2$$ Por lo que el 1 se convierte en: $$\tag 2\tan(a+b) =\frac {N_1D_2+N_2D_1}{D_1D_2-N_1N_2}$$ $$\etiqueta 3\tan(a-b) =\frac {N_1D_2-N_2D_1}{D_1D_2+N_1N_2}$$ Y el uso de esta "magia de la tabla hash": $$\tan 26.57^\circ = 1/2$$ $$\tan 18.43^\circ = 1/3$$ $$\tan 14.04^\circ = 1/4$$ $$\tan 11.31^\circ = 1/5$$

Y un útil identidades para los pequeños ángeles en radianes $$\tan a = a, |a| <0.05 (3.0 ^\circ) $$ Y para los ángulos de más de $45^\circ$ $$\tan a = 1/\tan(90°−a)$$

También puede recursivamente repita este proceso para conseguir más y más preciosa aproximación a continuación:

$$a_i=a_{i-1}\pm b_{i-1}$$

$$\etiqueta 4 \tan b_i=b_i=x - a_i$$

Donde $a_0$ y $b_0$ cogió de la mesa y $x$ es inicial el valor del ángulo de

Mientras que la evaluación de $(4)$ necesita la conversión a radianes. Es simplemente la multiplicación por $7/400$ por Lo que necesita para aproximado de $x-a_i$ con fracción de lo que se tiene $7$ en el denominador y/o divisores de $400 dólares en el numerador.

Google para "Fast_Approximation_of_Elementary_functions.pdf" de papel para más información sobre este truco. Enlace directo es prohibidos por alguna extraña razón.

P. S. Dibujo para usar en lugar de remebering la tabla hash y para la recolección rápida de $a_0$ $b_0$:

P. P. S. Para recordar $(2)$ considerar el producto de dos números complejos $a$z=(P1,N1)(D2,A2)$$ por lo que $(2)$ se convierte en:
$$\frac {\Im z}{\Re z}$$ para obtener $(3)$ justo de intercambio de los signos

Answer 3

Debido a la coincidencia numérica que $(\pi/180)^2/3$ es de casi $10^{-4}$, el polinomio de Taylor de $\tan x \aprox x+x^3/3$ se convierte en casi $$\tan(y {\rm\ deg}) \aprox .017y(1+10^{-4}y^2)$$ que parece ser exacto dentro de 5% a alrededor de 38 grados, y dentro de aproximadamente un 8 por ciento hasta 45 grados. Más allá de 45 grados no sé qué hacer, a menos que usted se puede dividir en $\tan x = 1/\tan(\pi/2-x)$.

Answer 4

Esto puede no ser la mejor para en-su-cabeza de cálculo, pero por $x$ en grados $$ \tan\left(\frac{\pi x}{180}\right)\approx\frac{x(990-4x)}{(90-x)(630+4x)}\etiqueta{1} $$ es en la mayoría de los $0.6\%$ de descuento por $0\le x\le90$.

Aquí está una parcela de que el error relativo:$\displaystyle\left.\frac{x(990-4x)}{(90-x)(630+4x)}\medio/\tan\left(\frac{\pi x}{180}\right)-1\right.$ :

$\hspace{2cm}$

La ecuación $(1)$ parece un poco desalentador, pero al menos $x$ es en grados, y el error relativo es muy pequeño. Realmente, la única constante que debe ser recordado por $(1)$ es $\frac{990}{4}$; es decir, $$ P(x)=x\left(\frac{990}{4}-x\right)\implica\tan\left(\frac{\pi x}{180}\right)\approx\frac{P(x)}{P(90-x)}\etiqueta{2} $$

Answer 5

Por $\theta = \frac{180^{\circ}}{\pi}\arctan x$ puede utilizar: $$\theta \approx \frac{180x}{3+x} \quad \mathrm{para} \quad 0 \leq x \leq 1$$ $$\theta \aprox 90^{\circ}- \frac{180}{3x+1} \quad \mathrm{para} \quad x > 1$$ donde $\theta$ se mide en grados.