Caracterizaciones simples de las estructuras matemáticas

Question

No es en absoluto trivial, un caracterización simple de una estructura matemática es una línea simple en el siguiente sentido:

Alguna estructura general es (sorprendente y sustancialmente) más estructurada si y sólo si la primera satisface algún supuesto extra (sorprendente y superficialmente débil).

Por ejemplo, aquí hay cuatro caracterizaciones simples en álgebra:

1. Un cuasigrupo es un grupo si y sólo si es asociativo.
2. Un anillo es un dominio integral si y sólo si su espectro es reducido e irreducible.
3. Un anillo es un campo si y sólo sus ideales son $(0)$ y a sí mismo.
4. Un dominio es un campo finito si y sólo si es finito.

Estoy convencido de que hay muchas caracterizaciones sencillas y hermosas en prácticamente todas las áreas de las matemáticas, y me extraña bastante que no se utilicen con más frecuencia. ¿Cuáles son algunas caracterizaciones simples que ha aprendido en sus estudios matemáticos?

Answer 1

Un número natural $p$ es primo si y sólo si divide a $(p-1)! + 1$ (y es mayor que 1).

Answer 2

La anchura (supremacía de los tamaños de las anticanales) de los cardenales es $1$ si y sólo si es $<k$ para un número finito de $k$ .

Es decir, cada dos cardenales son comparables, si y sólo si existe un $k$ de tal manera que dado $k$ distintos cardenales hay dos comparables.

Un corolario inmediato es que si el axioma de elección falla, entonces hay anticadenas de toda longitud finita.

Answer 3

1) Que $R$ sea un anillo conmutativo. Un ideal es $P \subset R$ es primo (resp. máximo) si y sólo si $R/P$ es un dominio (resp. un campo).

A menudo he visto que los autores toman esto como la definición de los ideales primos y máximos.

2) Un esquema es integral si y sólo si es reducido e irreducible.

3) Un anillo conmutativo $R$ es noetheriano si y sólo si todos los ideales primos están generados finitamente.

4) Una función de conjuntos es inyectiva (resp. suryectiva) si y sólo si tiene una inversa izquierda (resp. derecha).

5) Si $M$ es una variedad suave de n dimensiones, entonces el haz tangente $TM$ es trivial si y sólo si existen campos vectoriales suaves $X_1, \dots, X_n$ tal que para todo $p \in M$ , $X_i(p)$ forman una base para $T_pM$ el espacio tangente en $p$ .

6) Una matriz cuadrada con entradas en un campo es invertible si y sólo si tiene un determinante distinto de cero.