Mostrar que $\frac{\sqrt{8-4\sqrt3}}{\sqrt[3]{12\sqrt3-20}} =2^\frac{1}{6}$

Question

Este fue el resultado de la evaluación de una integral por dos métodos diferentes. La CARTA fue obtenido por medio de una sustitución, el lado izquierdo se obtuvo usando la identidad trigonométrica y parcial de las fracciones.

Ahora sé que estos dos son iguales, pero no puedo demostrarlo. He tratado de escribir la LHS, en términos como los poderes de $2$, pero no puede conseguir en cualquier lugar.

Ahora tengo una nueva pregunta:

Si se puede hacer, ¿ es siempre posible demostrar algebraicamente que una expresión es igual a otro, cuando sabemos que es verdad?

Saludos. Gracias.

Answer 1

Tenemos

$$8 - 4\sqrt{3} = 2(4-2\sqrt{3}) = 2(3-2\sqrt{3}+1) = 2(\sqrt{3}-1)^2,$$

por lo $\sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$.

Entonces vemos que mirar las $(\sqrt{3}-1)^3$ es una buena idea:

$$(\sqrt{3}-1)^3 = (4-2\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = 6\sqrt{3} - 10,$$

por lo $12\sqrt{3}-20 = 2(\sqrt{3}-1)^3$$\sqrt[3]{12\sqrt{3}-20} = \sqrt[3]{2}(\sqrt{3}-1)$.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}} = 2^{1/6}$ es entonces fácil de ver.

Answer 2

$$\frac{\sqrt{8-4\sqrt3}}{\sqrt[3]{12\sqrt3-20}} =\sqrt[6]{\frac{4^3(2-\sqrt3)^3}{4^2(3\sqrt3-5)^2}}=\sqrt[6]{\frac{4(2-\sqrt3)^3}{(3\sqrt3-5)^2}}=\sqrt[6]{\frac{4(8-12\sqrt3+18-3\sqrt3)}{(27-30\sqrt3+25)}}=$$ $$\sqrt[6]{\frac{4(26-15\sqrt3)}{(52-30\sqrt3)}}=\sqrt[6]{\frac{4(26-15\sqrt3)}{2(26-15\sqrt3)}}=2^{\frac{1}{6}}$$

Answer 3

Sugerencia $ $ surge simplemente por tomar la $6$'th raíz de la lhs = rhs a continuación

$$(8 - 4\sqrt 3)^{\large \color{#c00}3} =\, ((\sqrt 6 - \sqrt 2)^{\large \color{#0a0}2})^{\large \color{#c00}3} =\, ((\sqrt 6 - \sqrt 2)^{\large \color{#c00}3})^{\large \color{#0a0}2} =\, 2\, (12\sqrt 3 - 20)^{\large \color{#0a0}2}$$

En cuanto a tu pregunta general, sí, hay algoritmos eficaces para decidir la igualdad real de números algebraicos. Pero no sería fácil describir en el álgebra de precálculo a nivel. Para uno de esos algoritmo de ver Renaud Rioboo, orientada real de los números algebraicos.

Answer 4

Tome la sexta potencia de su fracción para limpiar el exterior surds $$x^6=\frac {4^3(2-\sqrt 3)^3}{4^2(3\sqrt 3-5)^2}=4\cdot\frac {26-15\sqrt 3}{52-30\sqrt 3}=2$$

El esperado próximo paso sería racionalizar el denominador, pero, afortunadamente, la respuesta se retira fácilmente de la computación.

Para abordar los aspectos más generales en la final.

Si sabemos que dos expresiones son iguales, ¿qué significa esto, sino que tenemos un método de prueba? Así que si sabemos que dos expresiones son iguales porque hemos aproximado a ellos utilizando una calculadora, se puede utilizar el método de aproximación para crear secuencias convergentes para el mismo límite.

Hace que mi "prueba" el trabajo bien depende del hecho de que nuestra expresión original es un número real positivo - de alguna manera tenemos que seleccionar que de la sexta raíces de $2$ nos referimos, por eso tenemos que hacer más trabajo del que inicialmente es aparente, y que pueden aportar en los temas que son independientes de la "puramente algebraica" modo de prueba la integridad, la existencia del valor y los aspectos de orden.

Answer 5

${\sqrt{8-4\sqrt3}\over\sqrt[3]{-20+12\sqrt3}}$ =${\left(8-4\sqrt3\right)^{1\over2}\over\left(-20+12\sqrt3\right)^{1\over3}}$ =${\left(8-4\sqrt3\right)^{3\over6}\over\left(-20+12\sqrt3\right)^{2\over6}}$ =$\left(\left(8-4\sqrt3\right)^3\over\left(-20+12\sqrt3\right)^2\right)^\frac16$ =$\sqrt[6]{\left(8-4\sqrt3\right)^3\over\left(-20+12\sqrt3\right)^2}$ =$\sqrt[6]{{1664-960\sqrt3}\over{832-480\sqrt3}}$ =$\sqrt[6]2$