combinatoria: Repitiendo un procedimiento, se $0$ ¿alguna vez apareció?

Question

En una pizarra negra hemos escrito los números $1$ $2$ $...$ $50$ en una lista. Cada vez despejamos dos números y escribimos su diferencia en su lugar. Seguimos así hasta que sólo quede un número. ¿Es posible que el número sea cero?

Supongo que la respuesta debe ser negativa, pero no sé por qué. La pregunta es de un concurso de matemáticas para alumnos de 8º curso.

Answer 1

La diferencia (o valor absoluto de la diferencia) de dos números $a$ y $b$ tiene el mismo paridad como su suma $a+b$ .

Eso es, $a+b$ y $a-b$ (o $|a-b|$ ) son siempre ambos pares o ambos Impares. Esto se desprende del examen de los casos.

Así que a través de todo el proceso de borrado/sustitución, la paridad de la suma de los números en el tablero es la misma que la paridad original de la suma.

Pero la suma original es $\frac{(50)(51)}{2}$ que es impar. Por lo tanto, la suma de los números del tablero nunca puede ser par, y en particular nunca puede ser $0$ .

Answer 2

Cuando despejamos dos números y escribimos su diferencia pueden darse dos casos:

Si $a$ y $b$ (los dos números que hemos despejado) tienen la misma paridad entonces $a-b$ será uniforme. De lo contrario, $a-b$ será impar.

Ahora, desde $1$ a $50$ hay exactamente $25$ Números Impares y $25$ números pares. Si se da el primer caso, entonces tendremos $23$ Números Impares y $25$ números pares, o tendremos $25$ Números Impares y $23$ números pares. En ambos casos, después de sumar $a-b$ tendremos un número impar de probabilidades en nuestra suma. Así que la paridad de la suma será impar. (Sólo hay que ver lo que tendremos mod $2$ ). Si la paridad es diferente, entonces tendremos $24$ Números Impares y $24$ números pares. Pero $a-b$ es impar en este caso, por lo tanto de nuevo el número de probabilidades será impar y la paridad de la suma será impar. Ahora aplica esta idea a cada paso y verás que la respuesta es negativa porque lo que tendremos es impar pero 0 es par.