Estoy tratando de comprender la topología del producto de dos de las tres dimensiones en las esferas $\mathbb{S}^3\times \mathbb{S}^3$ quotiented por la acción de la $\pm 1$ el envío de un par de puntos de $(x,y)$ a la correspondiente par de antipodal puntos de $(-x,-y)$. Mi corazonada es que esto puede entenderse mejor mediante la identificación de $\mathbb{S}^3$ con el especial de grupo unitario $SU(2)$ a través de la conocida homeomorphism y comprender el cociente del grupo topológico $SU(2)\times SU(2)$ por el grupo $H=\{I_2\times I_2,-I_2\times -I_2\}$ como un espacio topológico pero todavía no he tenido éxito con eso. Me gustaría saber si este enfoque es que vale la pena o si debería estar mirando en otra dirección para reconocer el espacio de $\mathbb{S}^3\times \mathbb{S}^3/\pm1$.
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El cociente $S^3\times S^3/\{\pm (1,1)\}$ es diffeomorphic (pero no la Mentira isomorfo) a $S^3\times \mathbb{R}P^3$ ($\mathbb{R}P^3$ es, naturalmente, diffeomorphic a $SO(3)$, por lo que le damos la Mentira de la estructura de grupo $SO(3)$).
Una explícita mapa está dada de la siguiente manera. La identificación de $S^3$ como la unidad de cuaterniones, definir $\tilde{f}:S^3\times S^3\rightarrow S^3\times \mathbb{R}P^3$ $\tilde{f}(p,q) = (pq, [q])$ donde $[q]$ denota la clase de $q$$\mathbb{R}P^3$.
Observe que $$\tilde{f}(-p,-q) = \left((-p)(-q), [-q]\right) = (pq,[q]) = \tilde{f}(p,q)$$ so $\tilde{f}$ descends to a map on $S^3\times S^3/\pm(1,1)$, which I'l call $f$.
El mapa de $\tilde{f}$ es claramente suave, por lo $f$ es así. Además, $f$ tiene una inversa dada por $f^{-1}(p,[q]) = [pq^{-1},q]$. Este es también claramente suave, por lo que tenemos que $f$ es un diffeomorphism.
Por qué no se les isomorfo Mentira grupos? Yo reclamo que $S^3\times \mathbb{R}P^3$ tiene normalmente un subgrupo isomorfo a $SO(3)$ mientras $S^3\times S^3/\pm(1,1)$ no.
En primer lugar, desde $\mathbb{R}P^3$ es isomorfo a $SO(3)$, el subgrupo $\{e\}\times \mathbb{R}P^3$ es isomorfo a $SO(3)$ y es normal en $S^3\times\mathbb{R}P^3$.
Segundo, para ver que no hay subgrupos normales isomorfo a $SO(3)$ $S^3\times S^3/\pm(1,1)$ nota de que la Mentira álgebra de $S^3\times S^3/\pm(1,1)$ $\mathfrak{so}(3)\oplus\mathfrak{so}(3)$ $\mathfrak{so}(3)$ es simple, así que el único que no trivial de que los ideales se $\mathfrak{so}(3)\oplus 0$$0\oplus \mathfrak{so}(3)$. En $S^3\times S^3$, estos exponentiate a los dos diferentes $S^3$ factores y solo se puede comprobar fácilmente que en virtud de la proyección $\pi:S^3\times S^3\rightarrow S^3\times S^3/\pm(1,1)$, $\pi$ es inyectiva en cada factor.
De ello se deduce que los dos ideales en $\mathfrak{so}(3)\oplus\mathfrak{so}(3)$ exponentitate a $S^3$s en $S^3\times S^3/\pm(1,1)$, por lo que, en particular, no son isomorfos a $SO(3)$.
