El producto de Smash de espacios puntuales no es asociativo

Question

He leído muchas veces que el producto estrella de los espacios topológicos puntuales no es asociativo, por ejemplo $\mathbb{N} \wedge (\mathbb{Q} \wedge \mathbb{Q})$ no es homeomorfo a $(\mathbb{N} \wedge \mathbb{Q}) \wedge \mathbb{Q}$ . ¿Cómo demostrarlo?

En general $\mathbb{N} \wedge X = \bigvee_{n>0} X$ para que $\mathbb{N} \wedge (X \wedge Y) = \bigvee_{n>0} (X \wedge Y)$ y $(\mathbb{N} \wedge X) \wedge Y = (\bigvee_{n>0} X) \wedge Y$ . Por la propiedad universal de la suma de cuñas, obtenemos un mapa continuo canónico $$\mathbb{N} \wedge (X \wedge Y) \to (\mathbb{N} \wedge X) \wedge Y,~(n,(x,y)) \mapsto ((n,x),y).$$ Es claramente biyectiva. Para $X=Y=\mathbb{Q}$ no debería estar abierto - ¿por qué? Probablemente hay que tomar algún subconjunto abierto de $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ que se acerca al punto base $(0,0)$ ¿de una manera extraña?

¿Puede alguien explicar/complementar la prueba de Joriki?

Answer 1

Observe el siguiente diagrama (creado con http://Presheaf.com . No sabía cómo hacer el
\Bbb -cartas allí)

Dado que ambas vías simplemente identifican $(\Bbb N×\Bbb Q×\{0\})\cup(\Bbb N×\{0\}×\Bbb Q)∪(\{0\}×\Bbb Q×\Bbb Q)$ a un punto, hemos inducido mapas de conjuntos $s$ y $\tilde s$ donde esta última es una biyección. Como la flecha inferior izquierda es un mapa cociente, $\tilde s$ es continua si y sólo si $$s:(\Bbb N\wedge\Bbb Q)×\Bbb Q\to \Bbb N∧(\Bbb Q∧\Bbb Q)$$ es continua. Para demostrar que no lo es, tenemos que encontrar un conjunto abierto en $ \Bbb N∧(\Bbb Q∧\Bbb Q)$ cuya preimagen no está abierta. Como la preimagen de $V$ en $s$ es la misma que la imagen de $q^{-1}(V)$ en $l×1$ esto equivale a encontrar un $q$ -conjunto saturado $U$ en $\Bbb N×\Bbb Q×\Bbb Q$ cuya imagen no está abierta.
El producto $\Bbb N×\Bbb Q×\Bbb Q$ es una unión disjunta de $\Bbb Q×\Bbb Q$ uno por cada número natural, empezando por $0$ . Un conjunto en $\Bbb N×\Bbb Q×\Bbb Q$ es $q$ -saturado si contiene todo el $(\Bbb Q×\Bbb Q)$ -copia en $n=0$ y para cada $n>0$ contiene los ejes de coordenadas de $\Bbb Q×\Bbb Q$ .
Considere el conjunto $U:=(\{0\}×\Bbb Q×\Bbb Q)\cup\bigcup_{n>0} U_n$ , donde $$U_n=\{(n,x,y)\mid y<\pi/n\text{ or }y>x+\pi/n\}$$ Cada $U_n$ está abierto y contiene los ejes, por lo que $U$ está saturado y abierto. Su imagen $V=(l×1)(U)$ contiene $(b,0)$ , donde $b$ denota el punto base de $\Bbb N∧\Bbb Q$ . Sin embargo, podemos demostrar que $(b,0)$ no es punto interior de $V$ :
Para $(b,0)$ para estar en $\text{int }V$ , tenía que existir un vecindario abierto $B$ de $b$ y un $ϵ>0$ tal que $B×[-ϵ,ϵ]⊆V$ . Se puede pensar en $\Bbb N∧\Bbb Q$ como la suma de cuñas $\bigvee_{n>0}(\Bbb Q,0)$ , un número contable de copias de $\Bbb Q,$ con todos $0$ identificada. El conjunto $B$ contiene por tanto como subespacio la cuña $\bigvee_{n>0}((-\delta_n,δ_n),0)$ , donde todos $δ_n>0$ . Ahora para $k\in\Bbb N$ tal que $\pi/k<ϵ$ el producto $(-δ_k,δ_k)×[-ϵ,ϵ]$ no está contenida en $U_k$ .

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Esto también demuestra que para un mapa cociente $q$ el producto $q\times 1_Y$ no necesita ser un mapa cociente si $Y$ no es localmente compacto. La razón por la que falla aquí es que la vecindad $K:=[-ϵ,ϵ]$ de $0$ en $\Bbb Q$ no es compacto. En caso contrario, podríamos considerar el conjunto $W$ que es el mayor subconjunto de $\Bbb N×\Bbb Q$ tal que $W×K⊆U$ . Este conjunto resulta ser abierto y saturado. Pero aquí la apertura requeriría que pudiéramos aplicar el Lemma del Tubo a $\{(k,0)\}×[-ϵ,ϵ]⊆U$ lo que no es posible ya que el intervalo no es compacto en $\Bbb Q$ .

Por cierto, un producto de éxito $X∧Y∧Z$ es asociativo si $X$ y $Z$ son localmente compactos, pero también si dos de los tres espacios son Hausdorff compactos. La razón es que si $Y,Z$ son compactas Hausdorff, entonces también lo es $Y∧Z$ lo que significa que $p:Y×Z\to Y∧Z$ es perfecto. Para ser perfecto $p$ un mapa $1_X×p$ es cerrado, por lo que es un mapa cociente.

Answer 2

Parece que hay una prueba detallada debida a Kathleen Lewis en la sección 1.5 de Teoría de la Homotopía Parametrizada por J.P. May y J. Sigurdsson.

Answer 3

La preimagen en $(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\times\mathbb Q$ de una vecindad abierta del origen de $(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\wedge\mathbb Q$ debe contener un producto de barrios abiertos de los orígenes de $\mathbb N\wedge\mathbb Q$ y $\mathbb Q$ por lo que su preimagen en $\mathbb N\times\mathbb Q\times\mathbb Q$ debe contener un conjunto de la forma $\{0\}\times\mathbb Q\times U$ , donde $U\subseteq\mathbb Q$ es una vecindad de $0$ . Sin embargo, $\{(n,x,y)\mid|xy|\lt1\}$ no contiene dicho conjunto, y su imagen en $\mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)$ está abierto.