¿Qué hace un "medio de derivados"?

Question

Yo estaba buscando en fracciones de cálculo en la Wikipedia, específicamente en esta sección, y se topó con la mitad de la derivada de la función $y=x$$y=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}}$ . La derivada dice que la pendiente en cualquier punto de la curva, pero lo que hace la mitad "derivado" significa - obviamente no $\frac{1}{2}$ la derivada de $y=x$ de los que serían sólo $\frac{1}{2}$.

No tengo un análisis muy profundo de cálculo - me acaban de Calc 1 y 2 de las 4 de la serie, pero todo ayuda!

También, he comprobado preguntas similares, pero que no parece responder a mi pregunta que tengo en negrita.

Answer 1

Respuesta corta: El medio derivado $H$ es algún tipo de operador (no está definida únicamente por esta propiedad) tal que $H(Hf) = f'$.

Respuesta larga: podemos pensar de la derivada como un operador lineal $D:X \to X$ donde $X$ es algunos conveniente (es decir, suave) el espacio de funciones. El $n$th orden de la derivada es entonces, por definición, el $n$-composición del pliegue $D^n = D\circ \cdots \circ D:X \to X$. Claramente $D^n D^m = D^{n+m}$. Aquí nos hemos limitado el índice de $n$ a un entero, pero lo que si nos ha permitido ser un número real? Es decir, queremos una familia de operadores de $D_t$, $t\geq 0$ real, de tal manera que

• $D_t$ se comporta bien con respecto a $t$;
• $D_1$ es sólo el ordinario derivado $D$;
• $D_t D_s = D_{t + s}$.

(No voy a hacer el primer punto más precisa, pero nosotros idealmente desea algo análogo a la continuidad o suavidad en la $t$. No he definido lo que es exactamente el espacio de $X$ o lo que su geometría parece, así que me voy a evadir el punto por ahora.) Así, por ejemplo, tenemos un operador $D_{1/2}$ $D_{1/2} D_{1/2} f = D_1 f = f'$ adecuado $f$.

¿De dónde obtenemos un operador $D_t$? Un lugar para comenzar es de Cauchy de la integral fórmula: \begin{align*} f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x - \xi)^{n-1} f(\xi)\, d\xi, \end{align*} donde $f^{(-n)}(x)$ denota la antiderivada de $f$, todos los normalizado a ha $f^{(-n)}(0)$$n > 0$. El factorial de arriba sólo está definida para todos los números positivos $n$, pero podemos utilizar la relación $\Gamma(n) = (n - 1)!$ a definir algo similar para arbitrario $t\geq 0$: \begin{align*} I_t f(x) = \frac{1}{\Gamma(t)}\int_0^x (x - \xi)^{t-1} f(\xi)\, d\xi, \end{align*} Claramente $I_t f(x)$ es sólo $f^{(-t)}$ si $t$ es un entero positivo, y podemos mostrar con un poco de trabajo que $I_t(I_s f) = I_{t+s} f$.

Ahora, eso es una antiderivada. Con el fin de obtener el derivado $D_t$ para los no-entero $t$, podemos usar la definición de arriba para deshacerse de la parte fraccionaria. Desde $D(If) = f$, podemos definir \begin{align*} D_t f= \frac{d^n}{dx^n} \left(I_\tau f\right) \end{align*} para $t = n - \tau$ $n$ un entero y $\tau\in [0, 1)$. Esta no es la única posible construcción de una derivada fraccional $D_t$, sin embargo.

Answer 2

La mitad de derivados en sí no tiene mucho físico de la interpretación (aunque creo que hay un campo llamado fracciones de la mecánica cuántica que puede usarla)

Entonces, ¿por qué existe si no real de la cosa física.

Voy a explicar.

Vamos a considerar la idea de contar a los niños en una escuela. Utilizamos números (enteros positivos) para contar a los niños. Las declaraciones son 5,6...201992 niños cada uno, son significativos en el sentido de que existen matemáticamente Y tienen una interpretación física.

Pero el conjunto de los Números no es sólo números enteros. Incluye números como $1/2$$2^{1/2}$. Así, se podría tratar de hacer bien lo que es la mitad de un niño o de la raíz cuadrada de 2 niños?

Estas son preguntas sin sentido, en el sentido de que usted no puede tener la mitad de un niño (contrario a la creencia popular de desmontaje y montaje de los niños no es fácil ni práctico). Irracional cantidades son aún más difíciles de producir. Sencillamente, NO sólo aparecen en ese contexto.

Así que ¿por qué estoy diciendo esto? He aquí por qué, permite hacer la pregunta no es ¿qué 1/2 significa en termias de los niños, pero ¿cómo se llegó a lo largo. Se llegó, porque quería generalizar el conjunto de los números para incluir cosas entre los números enteros. Se acompaña a lo largo de las aplicaciones además de contar a los niños y es, en realidad, más específicamente, un "accidental-subproducto" de la existencia de la división.

Así que, ¿qué es una derivada fraccional? Fácilmente podemos responder a la pregunta que la n-ésima derivada es la "tasa de cambio de la tasa de cambio de ... (Repetir n veces) de la tasa de cambio de la función". Esto gusta a los niños es una estructura discreta. Sólo números enteros (y si se incluyen las integrales, a continuación, los números enteros negativos (como un derivado hacia atrás)) de trabajo.

La derivada fraccional es una consecuencia de la pregunta "¿cuál es la función de los cuales puedo aplicar dos veces para obtener una primera derivada". En lugar de "¿cuál es la tasa de... de la Tasa de cambio de la función"

Así que, en breve. Es una pregunta interesante, donde ampliamos nuestro nivel de control y comprensión de cálculo pero comparte poca similitud con el físico más formas de cálculo que tenía originalmente.