¿Cuál es la mayor longitud posible de un número primo?

Question

Deje $p$ ser un número primo ,

set $f(p)=2p+1$ y definen $f^n(p)=f\circ f\circ\cdots\circ f(p)$ composición por $f,$ $n$ veces.

Y definir la longitud de $p$, $L(p)$ como máximo de $n$ tal que $f^i(p)$ es primordial para todos los $0\leq i< n$.

Por ejemplo, $L(3)=2$ desde que la cadena de $3-7$$L(2)=5$$2-5-11-23-47$.

Mi pregunta ¿cuál es la mayor longitud posible para todos prime ?

yo.e si $M=\sup \{L(p):p\ \text{is prime number} \}$, lo $M$?

Answer 1

Como Bruno señala, no hay manera de arreglar este problema con los conocimientos actuales.

Sin embargo, hay una pequeña nota: deje que su primer primer ser llamado $p.$ Hay muchos impares primos $q$ para que $2$ es una raíz primitiva y para que $$ p \neq -1 \pmod q. $$ Su función se ha $$ L(p) \leq 2q - 3 $$ for any such $q.$ Furthermore, if $q$ is not one of the $f^n(p),$ entonces $$ L(p) \leq q - 2. $$ Esto se aplica a la más pequeña posible, $q$ usted puede encontrar, así que hay un límite superior para cualquier $p.$

Por ejemplo, $2 \neq -1 \pmod 5,$ $L(2) \leq 7.$

Al $q$ 2 como una raíz primitiva, a continuación, su secuencia, tomada $\pmod q,$ tiene el punto fijo, $-1 \pmod q,$ y todo lo demás se muestra en una larga secuencia de $q-1$ valores distintos, incluyendo el $0 \pmod q.$ Si el primer $q$ no es parte de la secuencia, un número congruente a $0 \pmod q$ es compuesto. Si el primer $q$ es parte de la secuencia, la primera aparición es permitido ser $q$ sí, pero cualquier otro suceso es un número compuesto.

Hmmm. En particular, si 2 es una raíz primitiva $\pmod p$ sí, a continuación, $L(p) \leq p-1.$ conseguimos esto porque $p$ se produce en la primera posición.

Los números primos hasta 1000 para que 2 es una raíz primitivason $$ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197,$$ $$ 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523,$$ $$ 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827,$$ $$ 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, $$

Evidentemente mucho más fácil para mostrar una cadena es corta de encontrar una larga, como el actual récord mundial es de longitud 14. Ver http://oeis.org/A005602