Si $x_{n+1}/x_n\to x$ $x_n\nearrow+\infty$ $\frac{x_1+\cdots+x_{n+1}}{x_1+\cdots+x_n} \to x $

Question

Así que, aquí vamos de nuevo, la secuencia de $x_n$ es creciente y $x_n\to\infty$$n\to\infty$, y también, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}= x$ que es un real distinto de cero número de

Probar que :

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_1+\cdots+x_{n+1}}{x_1+\cdots+x_n} = x $$

Estoy atascado de nuevo, yo sé por qué se dice que [eventualmente] $x_n>A$ por cada $A$, desde que me dieron :

$$\frac{x_1+\cdots+x_{n+1}}{x_1+\cdots+x_n} -x\leq (n+1)\frac{x_{n+1}}{x_n} -x$$ for every $n>N$

$N$ es especial, pero aunque yo no llegue a algún lugar de allí, así que no importa. ¿alguien puede ayudar?

Answer 1

Stolz-Cesaro dice

Supongamos $b_n$ es una sucesión estrictamente creciente de números de tal manera que $b_n\nearrow +\infty$ y deje $a_n$ ser cualquier secuencia de números reales. Si $$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to\ell $$ then $$\frac{a_n}{b_n}\to\ell$$

Ahora, vamos a $$a_n=\sum_{k=1}^{n} x_k$$ $$b_n=\sum_{k=1}^{n-1} x_k$$

A continuación, $$a_{n+1}-a_n=x_{n+1}\\ b_{n+1}-b_n=x_{n}$$

y $b_n\nearrow +\infty$, $b_n$ es estrictamente creciente.

Para una prueba, consulte aquí.