Una letra T en el plano se define como un no-cero de la longitud del segmento con una ortogonal distinto de cero la longitud del segmento que tiene un extremo en el estricto interior del primer segmento. Demostrar que no puede haber más de countably muchos discontinuo letra T en el plano. He tratado mal para demostrar que puedo encontrar bolas alrededor de cada uno de los extremos de un 2 segmentos de la definición de una T, de tal manera que si cualquier otra letra T ha segmento de extremos contenidos en las bolas, a continuación, los dos T debe intersectar. Esto sería suficiente, ya que para cada bola se puede elegir un puro racional de la bola que ha racional centro y racional de la radio que está contenida dentro de la bola. Pero he tenido un tiempo difícil haciendo de esta una prueba rigurosa. Alguna ayuda?
Respuestas
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Deje $\mathscr{A}$ ser una colección de distintos carta $T$'s en el plano (voy a llamar el "segundo segmento de $T$" el segmento que tiene un extremo en el otro, llamado la "primera parte"). Para cada $n$, vamos a $\mathscr{A}_{n}$ ser el conjunto formado por todos los $T\in\mathscr{A}$ la satisfacción de:
Ambos segmentos de $T$ tienen la longitud $\geq 1/n$ y divide a la horizontal
El segundo segmento se divide el primero en subsegments de longitud $\geq 1/n$
Vamos a demostrar que cada una de las $\mathscr{A}_n$ es en la mayoría de los contables: Vamos a $n$ ser fijo, y supongamos que $\mathscr{A}_n$ no contables. para cada $T\in\mathscr{A}_n$, vamos a $c_T$ ser el punto de intersección de los segmentos de $T$. A continuación, $\left\{c_T:T\in\mathscr{A}_n\right\}$ es incontable, de ahí que haya algún punto de acumulación. Desde $n$ es fijo, se puede tomar de 3 elementos $T_1,T_2,T_3\in\mathscr{A}_n$ tal que $c_{T_1}$, $c_{T_2}$ y $c_{T_3}$ están lo suficientemente cerca para el primer segmentos de $T_1$, $T_2$ y $T_3$ a ser "casi en paralelo". Dicen que el primer segmento de $T_1$ está entre los primeros segmentos de $T_2$$T_3$. También, podemos tomar la $c_{T_i}$ lo suficientemente cerca (que sólo dependerá $n$), por lo que el segundo segmento de $T_1$ será necesariamente se cruzan en el primer segmento de $T_2$ o $T_3$, contradiciendo el hecho de que $\mathscr{A}_n$ consta de distintos elementos.
Por lo tanto, cada una de las $\mathscr{A}_n$ es en la mayoría de los contables, por lo $\mathscr{A}=\bigcup_{n=1}^\infty\mathscr{A}_n$ es en la mayoría de los contables.
Dado cualquier conjunto de T a definir una función que toma cada T para tres racional de las coordenadas obtenidas a partir de la superposición de cono de helado. decir (p,q,r) donde p y q son en distintos lados del cono y r es en el helado. Si dos disjuntas T asignado a la misma dos primeras coordenadas (partido en el cono), lo que puede suceder a continuación, el r de los componentes son distintos. A ver este es el caso de la nota hay un restrictiva ángulo de menos de $\pi$. Por lo tanto la función es inyectiva y por lo tanto la colección de T es contable.
