Las pruebas de los teoremas de Sylow

Question

Parece que hay muchas formas de demostrar los teoremas de Sylow. Me gustaría ver una colección de ellos. Favor de escribir o compartir enlaces a cualquier saber.

Answer 1

Me encanta Wielandt la prueba de la existencia de subgrupos de Sylow (Sylow yo). Isaacs se utiliza esta prueba en sus libros Finita de la Teoría de Grupo y Álgebra: Un Curso de Postgrado. Como Isaacs menciona, la idea de la prueba no es muy natural y no generalizar a otras situaciones bien, pero es simplemente hermoso. Primero un lema:

Lema: Vamos a $p,a,b$ ser números naturales donde $p$ es el primer y $a \geq b$. A continuación, $$\binom{pa}{pb} \equiv \binom{a}{b} \pmod{p}$$

Prueba. Considere el polinomio $(x + 1)^{pa} = (x^p+1)^a \in \mathbb{F}_p[x]$. Calcular el coeficiente de la $x^{pb}$ plazo de dos maneras diferentes se obtiene el resultado.

Prueba de Sylow yo: Vamos a $|G| = p^nm$ tal que $p \nmid m$. Deje $$\Omega = \{ X \subseteq G: |X| = p^n\} $$ (Tenga en cuenta que estamos tomando cada subconjunto de $G$ $p^n$ elementos).
$G$ actúa en $\Omega$ por la izquierda de la multiplicación. Observar que $$|\Omega| = \binom{p^nm}{p^n} \equiv m \pmod{p}$$ por el repetido uso de la lema. Por lo tanto $p \nmid |\Omega|$, por lo $\Omega$ tiene una órbita $\mathcal{O}$ tal que $p \nmid |\mathcal{O}|$. Ahora vamos a $X \in \mathcal{O}$ y deje $H$ ser el estabilizador subgrupo de $X$. Desde $|G:H| = |\mathcal{O}|$ (órbita-estabilizador teorema), podemos deducir que $p^n$ divide $|H|$; en particular,$p^n \leq |H|$. Por otro lado, para$x \in X$, por definición, de la estabilización de la $Hx \subseteq X$ y, por tanto, $$|H| = |Hx| \leq |X| = p^n$$ Por lo tanto $H$ es un Sylow $p$-subgrupo.

Answer 2

Deje $p$ ser un primer dividiendo el orden de lo finito grupo $G$. La existencia de un Sylow $p$-subgrupo puede ser probado de una manera estándar por inducción en $|G|$. Deje $x \in G$ no sea un elemento central (es decir,$x \not \in Z(G)$). Si el índice de la centralizador $|G:C_G(x)|$ no es divisible por $p$, entonces podemos aplicar la inducción y encontrar un Sylow $p$-subgrupo de $G$ dentro $C_G(x)$. Así que podemos suponer que la $p$ divide los indeces de los centralizadores de la no-elementos centrales. Por la órbita-estabilizador de la ecuación de $|G| = |Z(G)| + \sum_i |G:C_G(x_i)|$ cuando la $x_i$ son representantes de las centrales clases conjugacy. En particular, $p$ divide $|Z(G)|$. Por el teorema de Cauchy, existe $x \in Z(G)$ orden $p$. Por inducción existe una Sylow $p$-subgrupo $H/\langle x \rangle$$G/\langle x \rangle$, lo que implica que $H$ es un Sylow $p$-subgrupo de $G$.

Ahora vamos a $P$ ser un Sylow $p$-subgrupo de $G$, y deje $\Omega$ el conjunto de los conjugados de $P$ en $G$, $\Omega = \{P^g\ |\ g \in G\}$. $P$ actúa en $\Omega$ por conjugación con $P$ como único punto fijo. De hecho, si $P$ corrige $R \in \Omega$ $P$ normaliza $R$, por lo que el $PR$ $p$- subgrupo de $G$ contiene $P$ ($|PR| = |P| \cdot |R|/|P \cap R|$), por lo tanto, por maximality $P=R$. Tenga en cuenta que cada órbita de una acción de una $p$-el grupo tiene el tamaño de un poder de $p$. En particular, el particionamiento $\Omega$ a $P$de las órbitas da $|\Omega| \equiv 1 \mod(p)$. Nos queda probar que cada Sylow $p$-subgrupo de $G$ pertenece a $\Omega$. Supongamos por contradicción que existe una Sylow $p$-subgrupo $Q$ $G$ tal que $Q \not \in \Omega$. $Q$ actúa en $\Omega$, y por el argumento anterior no hay puntos fijos en virtud de esta acción, lo $p$ divide $|\Omega|$, contradicción.

Answer 3

Aquí está una prueba por Keith Conrad. De hecho, solo googlear "teorema de sylow prueba" produce muchos ejemplos.

Answer 4

Echa un vistazo Artin de Álgebra de libro. Él demuestra a todos los tres de ellos. El libro es sólo llama Álgebra. El Artin estoy hablando de Michael, no Emil. Es un gran libro, y cubre una gran cantidad de material.

Answer 5

Buscar Hungerford pruebas, se utiliza la misma idea para probar todos los Sylow de teoremas. Que utiliza el mismo Lema de $p$-grupos de acciones.