¿Esto es una martingala?

Question

Dejemos que $W_t$ sea un movimiento browniano estándar con $W_0 = 0$ y que $Z_t$ resolver la ecuación diferencial estocástica $dZ_t = 2 Z_t W_t \mathrm{d}W_t$ . Esto tiene solución

$$ Z_t=\exp\Big\{W_t^2-\int_0^t{(2W_s^2+1)ds}\Big\} \> . $$

Es fácil demostrar que $Z_t$ es un local martingala desde $P(\int_0^T{(Z_sW_s)^2ds}<\infty)=1.$

¿Podríamos demostrar que $E[\int_0^T{(Z_sW_s)^2ds}]<\infty$ , lo que implica $Z_t$ es una martingala en el intervalo $[0,T]?$

Answer 1

Sí, $Z$ es una martingala adecuada. Sin embargo, $\int_0^T(Z_sW_s)^2\,ds$ es no integrable para grandes $T$ . Como la variación cuadrática de $Z$ es $[Z]_t=4\int_0^t(Z_sW_s)^2\,ds$ La isometría de Ito dice que ésta es integrable si y sólo si $Z$ es una martingala cuadrada-integrable, y se puede demostrar que $Z$ no es integrable al cuadrado en tiempos grandes (véase más adelante).

Sin embargo, es condicionalmente integrable al cuadrado en intervalos de tiempo pequeños.

$$ \begin{align} \mathbb{E}\left[Z_t^2W_t^2\;\Big\vert\;\mathcal{F}_s\right]&\le\mathbb{E}\left[W_t^2\exp(W_t^2)\;\Big\vert\;\mathcal{F}_s\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\int x^2\exp\left(x^2-\frac{(x-W_s)^2}{2(t-s)}\right)\,dx \end{align} $$

Es un poco complicado, pero se puede evaluar esta integral y comprobar que es finita para $s \le t < s+\frac12$ . De hecho, la integración en el rango $[s,s+h]$ (cualquier $h < 1/2$ ) con respecto a $t$ es finito. Por lo tanto, condicionado a $W_s$ se puede decir que $Z$ es una martingala cuadrada integrable sobre $[s,s+h]$ .

Esto es suficiente para concluir que $Z$ es una martingala adecuada. Tenemos $\mathbb{E}[Z_t\vert\mathcal{F}_s]=Z_s$ (casi seguro) para cualquier $s \le t < s+\frac12$ . Por inducción, utilizando la regla de la torre para las expectativas condicionales, esto se extiende a todas las $s < t$ . Entonces, $\mathbb{E}[Z_t]=\mathbb{E}[Z_0] < \infty$ Así que $Z$ es integrable y se cumplen las condiciones de martingala.

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Ya he mencionado que el método sugerido en la pregunta no puede funcionar porque $Z$ no es integrable al cuadrado. Voy a elaborar en eso ahora. Si escribes el valor esperado de una expresión de la forma $\exp(aX^2+bX+c)$ (para $X$ normal) como una integral, se puede ver que se vuelve infinita exactamente cuando $a{\rm Var}(X)\ge1/2$ (porque el integrando está acotado lejos de cero en más o menos el infinito). Apliquemos esto a la expesión dada para $Z$ .

La expresión para $Z$ puede hacerse más manejable dividiendo el exponente en normales independientes. Fijar un tiempo positivo $t$ entonces $B_s=\frac{s}{t}W_t-W_s$ es un puente browniano independiente de $W_t$ . Reordena la expresión para $Z$ $$ \begin{align} Z_t&=\exp\left(W_t^2-\int_0^t(2(\frac{s}{t}W_t+B_s)^2+1)\,ds\right)\\ &=\exp\left(W_t^2-2\int_0^t\frac{s^2}{t^2}W_t\,ds+\cdots\right)\\ &=\exp\left((1-2t/3)W_t^2+\cdots\right) \end{align} $$ donde ' $\cdots$ se refiere a los términos que son como máximo lineales en $W_t$ . Entonces, para cualquier $p > 0$ , $$ Z_t^p=\exp\left(p(1-2t/3)W_t^2+\cdots\right). $$ La expectativa $\mathbb{E}[Z_t^p\mid B]$ de $Z_t^p$ con la condición de $B$ es infinito siempre que $$ p(1-2t/3){\rm Var}(W_t)=p(1-2t/3)t \ge \frac12. $$ El lado izquierdo de esta desigualdad se maximiza en $t=\frac34$ donde toma el valor $3p/8$ . Así que, $\mathbb{E}[Z_{3/4}^p\mid B]=\infty$ para todos $p\ge\frac43$ . El valor esperado de esto debe ser entonces infinito, por lo que $\mathbb{E}[Z^p_{3/4}]=\infty$ . Es una aplicación estándar de la desigualdad de Jensen que $\mathbb{E}[\vert Z_t\vert^p]$ es creciente en el tiempo para cualquier $p\ge1$ y la martingala $Z$ . Así que, $\mathbb{E}[Z_t^p]=\infty$ para todos $p\ge 4/3$ y $t\ge3/4$ . En particular, tomando $p=2$ muestra que $Z$ no es integrable al cuadrado.