Sí, Z es una martingala adecuada. Sin embargo, ∫T0(ZsWs)2ds es no integrable para grandes T . Como la variación cuadrática de Z es [Z]t=4∫t0(ZsWs)2ds La isometría de Ito dice que ésta es integrable si y sólo si Z es una martingala cuadrada-integrable, y se puede demostrar que Z no es integrable al cuadrado en tiempos grandes (véase más adelante).
Sin embargo, es condicionalmente integrable al cuadrado en intervalos de tiempo pequeños.
E[Z2tW2t|Fs]≤E[W2texp(W2t)|Fs]=1√2π(t−s)∫x2exp(x2−(x−Ws)22(t−s))dx
Es un poco complicado, pero se puede evaluar esta integral y comprobar que es finita para s≤t<s+12 . De hecho, la integración en el rango [s,s+h] (cualquier h<1/2 ) con respecto a t es finito. Por lo tanto, condicionado a Ws se puede decir que Z es una martingala cuadrada integrable sobre [s,s+h] .
Esto es suficiente para concluir que Z es una martingala adecuada. Tenemos E[Zt|Fs]=Zs (casi seguro) para cualquier s≤t<s+12 . Por inducción, utilizando la regla de la torre para las expectativas condicionales, esto se extiende a todas las s<t . Entonces, E[Zt]=E[Z0]<∞ Así que Z es integrable y se cumplen las condiciones de martingala.
Ya he mencionado que el método sugerido en la pregunta no puede funcionar porque Z no es integrable al cuadrado. Voy a elaborar en eso ahora. Si escribes el valor esperado de una expresión de la forma exp(aX2+bX+c) (para X normal) como una integral, se puede ver que se vuelve infinita exactamente cuando aVar(X)≥1/2 (porque el integrando está acotado lejos de cero en más o menos el infinito). Apliquemos esto a la expesión dada para Z .
La expresión para Z puede hacerse más manejable dividiendo el exponente en normales independientes. Fijar un tiempo positivo t entonces Bs=stWt−Ws es un puente browniano independiente de Wt . Reordena la expresión para Z Zt=exp(W2t−∫t0(2(stWt+Bs)2+1)ds)=exp(W2t−2∫t0s2t2Wtds+⋯)=exp((1−2t/3)W2t+⋯) donde ' ⋯ se refiere a los términos que son como máximo lineales en Wt . Entonces, para cualquier p>0 , Zpt=exp(p(1−2t/3)W2t+⋯). La expectativa E[Zpt∣B] de Zpt con la condición de B es infinito siempre que p(1−2t/3)Var(Wt)=p(1−2t/3)t≥12. El lado izquierdo de esta desigualdad se maximiza en t=34 donde toma el valor 3p/8 . Así que, E[Zp3/4∣B]=∞ para todos p≥43 . El valor esperado de esto debe ser entonces infinito, por lo que E[Zp3/4]=∞ . Es una aplicación estándar de la desigualdad de Jensen que E[|Zt|p] es creciente en el tiempo para cualquier p≥1 y la martingala Z . Así que, E[Zpt]=∞ para todos p≥4/3 y t≥3/4 . En particular, tomando p=2 muestra que Z no es integrable al cuadrado.