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¿Esto es una martingala?

Dejemos que Wt sea un movimiento browniano estándar con W0=0 y que Zt resolver la ecuación diferencial estocástica dZt=2ZtWtdWt . Esto tiene solución

Zt=exp{W2tt0(2W2s+1)ds}.

Es fácil demostrar que Zt es un local martingala desde P(T0(ZsWs)2ds<)=1.

¿Podríamos demostrar que E[T0(ZsWs)2ds]< , lo que implica Zt es una martingala en el intervalo [0,T]?

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Sí, Z es una martingala adecuada. Sin embargo, T0(ZsWs)2ds es no integrable para grandes T . Como la variación cuadrática de Z es [Z]t=4t0(ZsWs)2ds La isometría de Ito dice que ésta es integrable si y sólo si Z es una martingala cuadrada-integrable, y se puede demostrar que Z no es integrable al cuadrado en tiempos grandes (véase más adelante).

Sin embargo, es condicionalmente integrable al cuadrado en intervalos de tiempo pequeños.

E[Z2tW2t|Fs]E[W2texp(W2t)|Fs]=12π(ts)x2exp(x2(xWs)22(ts))dx

Es un poco complicado, pero se puede evaluar esta integral y comprobar que es finita para st<s+12 . De hecho, la integración en el rango [s,s+h] (cualquier h<1/2 ) con respecto a t es finito. Por lo tanto, condicionado a Ws se puede decir que Z es una martingala cuadrada integrable sobre [s,s+h] .

Esto es suficiente para concluir que Z es una martingala adecuada. Tenemos E[Zt|Fs]=Zs (casi seguro) para cualquier st<s+12 . Por inducción, utilizando la regla de la torre para las expectativas condicionales, esto se extiende a todas las s<t . Entonces, E[Zt]=E[Z0]< Así que Z es integrable y se cumplen las condiciones de martingala.


Ya he mencionado que el método sugerido en la pregunta no puede funcionar porque Z no es integrable al cuadrado. Voy a elaborar en eso ahora. Si escribes el valor esperado de una expresión de la forma exp(aX2+bX+c) (para X normal) como una integral, se puede ver que se vuelve infinita exactamente cuando aVar(X)1/2 (porque el integrando está acotado lejos de cero en más o menos el infinito). Apliquemos esto a la expesión dada para Z .

La expresión para Z puede hacerse más manejable dividiendo el exponente en normales independientes. Fijar un tiempo positivo t entonces Bs=stWtWs es un puente browniano independiente de Wt . Reordena la expresión para Z Zt=exp(W2tt0(2(stWt+Bs)2+1)ds)=exp(W2t2t0s2t2Wtds+)=exp((12t/3)W2t+) donde ' se refiere a los términos que son como máximo lineales en Wt . Entonces, para cualquier p>0 , Zpt=exp(p(12t/3)W2t+). La expectativa E[ZptB] de Zpt con la condición de B es infinito siempre que p(12t/3)Var(Wt)=p(12t/3)t12. El lado izquierdo de esta desigualdad se maximiza en t=34 donde toma el valor 3p/8 . Así que, E[Zp3/4B]= para todos p43 . El valor esperado de esto debe ser entonces infinito, por lo que E[Zp3/4]= . Es una aplicación estándar de la desigualdad de Jensen que E[|Zt|p] es creciente en el tiempo para cualquier p1 y la martingala Z . Así que, E[Zpt]= para todos p4/3 y t3/4 . En particular, tomando p=2 muestra que Z no es integrable al cuadrado.

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