Supongamos que tenemos (para fijar ideas) unitaria irreductible representación de un semi-simple Mentira grupo $G$ (tales como la no-compacto Mentira grupos que anote) en un espacio de Hilbert. (Aquí me refiero irreductible en el espacio de Hilbert sentido, es decir, no hay invariantes cerrado subespacios.) Vamos a llamar el espacio de Hilbert $V$ (sólo para darle un nombre).
Un teorema de Harish-Chandra, a continuación, dice que $V$ es admisible, lo que significa que el siguiente: fijar un máximo compacto subgrupo $K$$G$. A continuación, cada una representación irreducible $W$ $K$ aparece con multiplicidad finita como un subrepresentation
de $V$. Si llamamos a esta multiplicidad $m_W$, entonces podemos escribir
$V = \hat{\oplus}_W W^{m_W}$, es decir, como el espacio de Hilbert suma directa (es decir, el completado suma directa) de los diversos $W$, cada uno que aparece con multiplicidad $m_W$. (Esto es una consecuencia de la Pedro--teorema de Weyl, y es cierto
para cualquier unitaria representación de un grupo compacto en el que cada irrep. aparece
con multiplicidad finita.)
Ahora dentro de $\hat{\oplus} W^{m_W}$ tenemos el real algebraicas suma directa de
$\oplus_W W^{m_W}$, y este tiene una característica intrínseca de la caracterización como un subespacio
de $V$, mientras que el $K$-finito de vectores. (Un vector $v$ se llama $K$-finito si el
lineal lapso de todos sus traduce por elementos de $K$ es finito-dimensional.)
Vamos a denotar por $V_K \subset V$.
Resulta que $V_K$, a pesar de que no es invariante bajo la acción de $G$
(normalmente, a menos que $V$ pasa a ser finito-dimensional, que no suelen ser), es invariante bajo $\mathfrak g$, la Mentira álgebra de $G$.
Uno llama a $V_K$ $(\mathfrak{g},K)$- módulo, o también un Harish-Chandra módulo
(porque tiene acciones de $\mathfrak{g}$$K$). Resulta que
$V_K$ determina la $V$, y la base de Harish-Chandra enfoque para el estudio
de los representantes unitarios. de $G$ es para trabajar en su lugar con el subyacente $(\mathfrak g,K)$-módulos.
Ahora, en principio, para recuperarse $V$, lo que uno realmente necesita $V_K$ $(\mathfrak g, K)$-módulo; es decir, olvidando $\mathfrak g$ y tan sólo recordar que el $K$-acción es tirar un montón de información.
Pero en la práctica (al menos en los ejemplos que yo sepa) no isomorfos irreductible $V$ tienen diferentes lista de multiplicidades $m_W$, y tan sólo saber
$V_K$ $K$- rep. ya hacia abajo el pasador $V$.
De hecho, a veces uno ni siquiera tiene que saber todas las $m_W$, pero sólo
el primer no-cero fuga de valor. (Si pienso en el reps. $W$ como
marcados por su más alto de pesos acostado en alguna elección de los dominantes Weyl cámara para $K$.)
Un buen lugar para leer acerca de esto (no es corto, pero me pareció muy buena para la inmersión en) es Knapp del libro teoría de la Representación de semisimple grupos:
resumen basado en ejemplos. Él le da las definiciones básicas, una gran cantidad de ejemplos, y pasa a desarrollar diversos aspectos de la teoría (por ejemplo, la teoría de la
la relación entre el $V$ y las multiplicidades $m_W$: esto se conoce como
la teoría de la $K$-tipos).
Por cierto, Harish-Chandra era un estudiante de Dirac, y (que yo sepa) de su estudio de los representantes unitarios. de semisimple grupos fue inspirado por Bargmann del tratamiento del caso especial de $SL_2(\mathbb R)$, que a su vez fue inspirado en parte por el papel de este grupo en la física.
Por otro lado, no sé de un tratamiento de la teoría que se relaciona directamente a la física de la literatura, y yo no puedo analizar la física argumento que escribió en detalle.
